ÍNDEX 01 Polinomis d'una indeterminada 02 Operacions amb Polinomis 03 Divisió de Polinomis. Regla de Ruffini 04 Teorema del Residu 05 Divisibilitat de Polinomis 06 Arrels d'un Polinomi 07 Factorització de Polinomis 08 MCM i MCD de Polinomis 09 Fraccions algebraiques 10 Operacions amb fraccions algebraiques Tasca a presentar
10 Operacions amb fraccions algebraiques

pàg. 53
39 Calcula:
a) \(\displaystyle\frac{2x-1}{2x+4}+\displaystyle\frac{1}{x^2-4}-\displaystyle\frac{3-x}{x-2}\)         b) \(\displaystyle\frac{1-x^2}{x^2-x}\cdot\displaystyle\frac{3x}{x-1}\)
39 a) \(\displaystyle\frac{2x-1}{2x+4}+\displaystyle\frac{1}{x^2-4}-\displaystyle\frac{3-x}{x-2}\)

Amb factor comú i amb productes notables

\[ \frac{2x-1}{2x+4}+\frac{1}{x^2-4}-\frac{3-x}{x-2}=\frac{2x-1}{2(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x-2)}-\frac{3-x}{x-2} \] El m.c.m. dels denominadors és \(2(x+2)(x-2)\) \[ \frac{2x-1}{2x+4}+\frac{1}{x^2-4}-\frac{3-x}{x-2}=\frac{(2x-1)(x-2)}{2(x+2)(x-2)}+\frac{2}{2(x+2)(x-2)}-\frac{2(x+2)(3-x)}{2(x+2)(x-2)} \] Així, sumant numeradors \[ \frac{2x-1}{2x+4}+\frac{1}{x^2-4}-\frac{3-x}{x-2}=\frac{(2x-1)(x-2)+2-2(x+2)(3-x)}{2(x+2)(x-2)} \] Multiplicant

\[ \frac{2x-1}{2x+4}+\frac{1}{x^2-4}-\frac{3-x}{x-2}=\frac{2x^2-5x+2+2+2x^2-2x-12}{2(x+2)(x-2)}=\frac{4x^2-7x-8}{2(x+2)(x-2)} \]

39 b) \(\displaystyle\frac{1-x^2}{x^2-x}\cdot\displaystyle\frac{3x}{x-1}\)

Amb factor comú i amb productes notables

\[ \displaystyle\frac{1-x^2}{x^2-x}\cdot\displaystyle\frac{3x}{x-1}=-\displaystyle\frac{(x+1)(x-1)}{x(x-1)}\cdot\displaystyle\frac{3x}{x-1} \] Multiplicant \[ \displaystyle\frac{1-x^2}{x^2-x}\cdot\displaystyle\frac{3x}{x-1}=-\displaystyle\frac{(x+1)(x-1)3x}{x(x-1)(x-1)} \] Simplificant \[ \displaystyle\frac{1-x^2}{x^2-x}\cdot\displaystyle\frac{3x}{x-1}=-\displaystyle\frac{3(x+1)}{x-1} \]


40 Donades les fraccions:
\(A=\displaystyle\frac{1}{x+5}\)         \(B=\displaystyle\frac{x^2-25}{x+3}\)         \(C=\displaystyle\frac{x^2+4x+3}{x+5}\)
Calcula:
a) \((A\cdot B)\cdot C\)         b) \((A+C)\cdot B\)         c) \(3A:C\)
40 a) \((A\cdot B)\cdot C\)
\[ (A\cdot B)\cdot C=\frac{1}{x+5}\cdot\frac{x^2-25}{x+3}\cdot\frac{x^2+4x+3}{x+5} \] Factorizant tots els possibles \[ (A\cdot B)\cdot C=\frac{1}{x+5}\cdot\frac{(x+5)(x-5)}{x+3}\cdot\frac{(x+1)(x+3)}{x+5} \] Multiplicant \[ (A\cdot B)\cdot C=\frac{1\cdot(x+5)\cdot(x-5)\cdot(x+1)\cdot(x+3)}{(x+5)\cdot(x+3)\cdot(x+5)} \] \[ (A\cdot B)\cdot C=\frac{(x-5)\cdot(x+1)}{(x+5)} \]
40 b) \((A+C)\cdot B\)
\[ (A+C)\cdot B=\left(\frac{1}{x+5}+\frac{x^2+4x+3}{x+5}\right)\cdot\frac{x^2-25}{x+3} \] Sumant \[ (A+C)\cdot B=\left(\frac{x^2+4x+4}{x+5}\right)\cdot\frac{x^2-25}{x+3} \] Factorizant tots els possibles

\[ (A+C)\cdot B=\left(\frac{(x+2)^2}{x+5}\right)\cdot\frac{(x+5)(x-5)}{x+3} \] Multiplicant \[ (A+C)\cdot B=\frac{(x+2)^2(x+5)(x-5)}{(x+5)(x+3)}=\frac{(x+2)^2(x-5)}{(x+3)}=\frac{(x+2)^2(x-5)}{x+3} \]

40 c) \(3A:C\)
\[ 3A:C=\frac{3}{x+5}:\frac{x^2+4x+3}{x+5} \] Dividint \[ 3A:C=\frac{3(x+5)}{(x+5)(x^2+4x+3)} \] Factorizant tots els possibles \[ 3A:C=\frac{3(x+5)}{(x+5)(x-1)(x-3)} \] Simplificant \[ 3A:C=\frac{3}{(x-1)(x-3)} \]


41 Quina fracció hem de sumar a \(\displaystyle\frac{2x-1}{x+4}\) per obtenir la fracció zero?
41 Cal sumar-li la seva oposada: \(-\displaystyle\frac{2x-1}{x+4}\) llavors \[\frac{2x-1}{x+4}+\left(-\frac{2x-1}{x+4}\right)=0\]


43 Calcula:
a) \(\displaystyle\frac{3}{x^2-1}+\displaystyle\frac{5x}{x+1}-\displaystyle\frac{2x}{x-1}\)         b) \(\displaystyle\frac{x^2-4}{3x}:\displaystyle\frac{x^2-4x+4}{x+2}\)
c) \(2-\displaystyle\frac{3x}{x+1}\)         d) \(\displaystyle\frac{x^2+3}{x^2+1}-5\)
43 a) \(\displaystyle\frac{3}{x^2-1}+\displaystyle\frac{5x}{x+1}-\displaystyle\frac{2x}{x-1}\)

Factoritzant \[\frac{3}{x^2-1}+\frac{5x}{x+1}-\frac{2x}{x-1}=\frac{3}{(x+1)(x-1)}+\frac{5x}{x+1}-\frac{2x}{x-1}\] El m.c.m. dels denominadors és \((x+1)(x-1)=x^2-1\) \[\frac{3}{x^2-1}+\frac{5x}{x+1}-\frac{2x}{x-1}=\frac{3}{(x+1)(x-1)}+\frac{5x(x-1)}{(x+1)(x-1)}-\frac{2x(x+1)}{(x-1)(x+1)}\] Sumant \[\frac{3}{x^2-1}+\frac{5x}{x+1}-\frac{2x}{x-1}=\frac{3+5x(x-1)-2x(x+1)}{(x+1)(x-1)}\] Multiplicant \[\frac{3}{x^2-1}+\frac{5x}{x+1}-\frac{2x}{x-1}=\frac{3+5x^2-5x-2x^2-2x}{(x+1)(x-1)}=\frac{3x^2-7x+3}{x^2-1}\]

43 b) \(\displaystyle\frac{x^2-4}{3x}:\displaystyle\frac{x^2-4x+4}{x+2}\)

Factoritzant \[\frac{x^2-4}{3x}:\frac{x^2-4x+4}{x+2} = \frac{(x+2)(x-2)}{3x}:\frac{(x-2)^2}{x+2}\] Dividint \[\frac{x^2-4}{3x}:\frac{x^2-4x+4}{x+2} = \frac{(x+2)(x-2)(x+2)}{3x(x-2)^2}\] Simplificant \[\frac{x^2-4}{3x}:\frac{x^2-4x+4}{x+2} = \frac{(x+2)(x-2)(x+2)}{3x(x-2)^2} = \frac{(x+2)^2}{3x(x-2)}\]

43 c) \(2-\displaystyle\frac{3x}{x+1}\)

Posant al mateix denominador \[2-\frac{3x}{x+1}=\frac{2(x+1)}{x+1}-\frac{3x}{x+1}=\frac{2x+2)}{x+1}-\frac{3x}{x+1}\] Restant \[2-\frac{3x}{x+1}=\frac{2(x+1)}{x+1}-\frac{3x}{x+1}=\frac{2x+2-3x)}{x+1}=\frac{-x+2)}{x+1}\]

43 d) \(\displaystyle\frac{x^2+3}{x^2+1}-5\)

Posant al mateix denominador \[\frac{x^2+3}{x^2+1}-5=\frac{x^2+3}{x^2+1}-\frac{5x^2+5}{x^2+1}\] Restant \[\frac{x^2+3}{x^2+1}-5=\frac{x^2+3-5x^2-5}{x^2+1}=\frac{-4x^2-2}{x^2+1}\]




44 Quina condició ha de verificar una fracció algèbrica per tal que sigui equivalent a un polinomi?
44

Una fracció algèbrica és equivalent a un polinomi si el polinomi numerador és múltiple del polinomi denominador.

També podriem haver dit que la divisió sigui exacta
45 Comprova que el resultat d’aquesta multiplicació és 1:\[\frac{x^2-4}{x^2-1}\cdot\frac{x+1}{x+2}\cdot\frac{x-1}{x-2}\]
45 \[\frac{x^2-4}{x^2-1}\cdot\frac{x+1}{x+2}\cdot\frac{x-1}{x-2}=\frac{(x^2-4)(x+1)(x-1)}{(x^2-1)(x+2)(x-2)}\] Factoritzant \[\frac{x^2-4}{x^2-1}\cdot\frac{x+1}{x+2}\cdot\frac{x-1}{x-2}=\frac{(x+2)(x-2)(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)}=1\]


46 Per quina fracció algèbrica cal multiplicar \(\displaystyle\frac{2x+1}{x^2-4}\) per obtenir \(\displaystyle\frac{1}{2x^2-5x+2}\) ?
46 La fracció s’obté en fer la divisió: \(\displaystyle\frac{1}{2x^2-5x+2}:\displaystyle\frac{2x+1}{x^2-4}\) Dividint \[\frac{1}{2x^2-5x+2}:\frac{2x+1}{x^2-4} = \frac{x^2-4}{(2x^2-5x+2)(2x+1)}\] Factoritzant \[\frac{1}{2x^2-5x+2}:\frac{2x+1}{x^2-4} = \frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)(2x-1)(2x+1)} = \frac{x+2}{(2x-1)(2x+1)} = \frac{x+2}{4x^2-1}\]










MathJax.version: