ÍNDEX 01 Polinomis d'una indeterminada 02 Operacions amb Polinomis 03 Divisió de Polinomis. Regla de Ruffini 04 Teorema del Residu 05 Divisibilitat de Polinomis 06 Arrels d'un Polinomi 07 Factorització de Polinomis 08 MCM i MCD de Polinomis 09 Fraccions algebraiques 10 Operacions amb fraccions algebraiques Tasca a presentar
08 MCM i MCD de Polinomis

pàg. 50
32 Calcula l'm.c.d. i l'm.c.m. dels polinomis:
a) \(P(x)=x^2 - 9\) i \(R(x)=x^2-6x+9\)
b) \(P(x)=x^2 - 1\) i \(R(x)=3x^2-6x+3\)
c) \(A(x)=3x^4 - 3\) i \(B(x)=3x^2-3\)
d) \(A(x)=x^2 - 2x - 3\), \(B(x)=x^3+2x^2+x\) i \(C(x)=x^3-8x^2+21x-18\)
32 a) \(P(x)=x^2 - 9\) i \(R(x)=x^2-6x+9\)

Només utilitzant productes notables

\(P(x)=x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x + 3)(x - 3)\)          \(R(x)=x^2-2\cdot3x+3^2=(x-3)^2\)

\(P(x)= (x + 3)(x - 3)\)          \(R(x)=(x-3)^2\)

Llavors

\(MCD(P,R)=(x - 3)\)          \(MCM(P,R)=(x - 3)^(x + 3)\)




32 b) \(P(x)=x^2 - 1\) i \(R(x)=3x^2-6x+3\)
Només utilitzant productes notables

\(P(x)=x^2 - 1 = x^2 - 1^2 = (x + 1)(x - 1)\)          \(R(x)=3(x^2-2x+1)=3(x-1)^2\)

\(P(x)= (x + 1)(x - 1)\)          \(R(x)=3(x-1)^2\)

Llavors

\(MCD(P,R)=(x - 1)\)          \(MCM(P,R)=3(x - 1)^2(x + 1)\)




32 c)\(A(x)=3x^4 - 3\) i \(B(x)=3x^2-3\)
Només utilitzant productes notables

\(A(x)=3(x^4 - 1) = 3[(x^2)^2 - 1^2] = 3(x^2 + 1)(x^2 - 1) = 3(x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)\)
\(B(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x + 1)(x - 1)\)

\(A(x)= 3(x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)\)          \(B(x)=3(x + 1)(x - 1)\)

Llavors

\(MCD(A,B)=3(x + 1)(x - 1)=B(x)\)          \(MCM(A,B)= 3(x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)=A(x)\)




32 d)\(A(x)=x^2 - 2x - 3\), \(B(x)=x^3+2x^2+x\) i \(C(x)=x^3-8x^2+21x-18\)
Els dos primers polinomis només necessiten solució de l'equació de segon grau i factor comú + productes notables.
Però també
\(+1\) \(-2\) \(-3\)
\(-1\) \(-1\) \(+3\)
\(+1\) \(-3\)\(0\)
\(+3\) \(+3\)
\(+1\) \(0\)
   
\(+1\) \(+2\) \(+1\) \(0\)
\(0\) \(0\) \(0\) \(0\)
\(+1\) \(+2\) \(+1\) \(0\)
\(-1\) \(-1\) \(-1\)
\(+1\) \(+1\)\(0\)
\(-1\) \(-1\)
\(+1\)\( 0\)
   
\(+1\) \(-8\) \(+21\) \(-18\)
\(2\) \(+2\) \(-12\) \(+18\)
\(+1\) \(-6\) \(+9\) \(0\)
\(3\) \(+3\) \(-9\)
\(+1\) \(-3\)\(0\)
\(3\) \(+3\)
\(+1\)\( 0\)
\[ \begin{array}{rl} A(x) & =x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3)\\ B(x) & =x^3+2x^2+x = x(x^2+2x+1)=x(x+1)^2\\ C(x) & =x^3-8x^2+21x-18 = (x-2)(x-3)^2 \end{array} \] Llavors

\(MCD(A,B,C)=1\)          \(MCM(A,B,C)= x(x + 1)^2(x-2)(x-3)^2\)




33 Troba el m.c.d. i el m.c.m. de \(S(x)=(x-2)^2\) i \(T(x)=x^2-4\).
Comprova que el producte dels dos polinomis que acabes de trobar és igual al producte dels polinomis \(S(x)\) i \(T(x)\).
33 \(S(x)=(x-2)^2\)
\(T(x)=x^2-4=x^2-2^2=(x+2)(x-2)\).

\(MCD(S,T)=(x - 2)\)          \(MCM(S,T)= (x-2)^2(x + 2)\)

\(S(x)\cdot T(x)=(x+2)(x-2)^3\)

\(MCD(S,T)\cdot MCM(S,T)=(x - 2)(x-2)^2(x + 2)=(x-2)^3(x+2)\)

34 El m.c.d. de dos polinomis \(A(x)\) i \(B(x)\) és 1. Quin és el seu m.c.m.?
34 Si \(MCD(A,B)=1\) vol dir que no tenen cap factor comú, per tant \(MCM(A,B)=A(x)\cdot B(x)\)








MathJax.version: