| pàg. 40 |
| 8 |
Fes la divisió \((3x^4-x^3+1):(x^2+1)\). Comprova que es verifica la propietat fonamental.
|
| 8 |
\((3x^4-x^3+1):(x^2+1)\)
| \(3x^4\) | \(-x^3\) | | | \(+1\) | \(x^2+1\) |
| \(-3x^4\) | | \(-3x^2\) | | | \(3x^2 - x -3\) |
| | \(-x^3\) | \(-3x^2\) | | | |
| | \(+x^3\) | | \(+x\) | | | |
| | | \(-3x^2\) | \(+x\) | \(+1\) | |
| | | \(+3x^2\) | | \(+3\) | | |
| | | | \(+x\) | \(+4\) | |
| Dividend | divisor |
| | quocient |
| residu | |
|
|
Dividend: \(3x^4-x^3+1\)
divisor: \(x^2+1\)
quocient: \(3x^2 - x -3\)
residu: \(x+4\)
|
|
|
La propietat fonamental diu que
Dividend=quocient×divisor + residu
| | | | \(3x^2\) | \(-x\) | \(-3\) |
| | | ⊗ | \(x^2\) | | \(+1\) |
| | | | \(3x^2\) | \(-x\) | \(-3\) |
| | \(3x^4\) | \(-x^3\) | \(-3x^2\) | | |
| | \(3x^4\) | \(-x^3\) | | \(-x\) | \(-3\) |
| ⊕ | | | | \(-x\) | \(+4\) |
| | \(3x^4\) | \(-x^3\) | | | \(+1\) |
|
| 9 |
Efectua aquestes divisions. Aplica la regla de Ruffini quan sigui possible.
|
| a) | \((6x^5 -3x^4 + 2x + 1) : (-3x^3 + 2x + 4)\) |
| b) | \(x^6:(x^4 + x^2 -2)\) |
| c) | \((2x^3 -x^2 + 3x) : (x-1)\) |
| d) | \((x^4 - 1) : (x + 1)\) |
| e) | \(x^3:(x + 2)\) |
| f) | \((x^6 - 1) : (x^2 + 1)\) |
| g) | \(\left(\displaystyle\frac{1}{2}x^2 - \displaystyle\frac{1}{3}x + \displaystyle\frac{1}{4}\right) : \left(x - \displaystyle\frac{1}{2}\right)\) |
|
| 9 |
a) \((6x^5 -3x^4 + 2x + 1) : (-3x^3 + 2x + 4)\)
| \( 6x^5 \) | \( -3x^4 \) | \( \) | \( \) | \( +2x \) | \( + 1 \) | \( -3x^3 + 2x + 4 \) |
| \( -6x^5 \) | \( \) | \( +4x^3 \) | \( +8x^2 \) | | | \(-2x^2 + x -\displaystyle\frac{4}{3}\) |
| \( \) | \( -3x^4 \) | \( +4x^3 \) | \( +8x^2 \) | \( +2x \) | \( \) | \( \) |
| \( \) | \( +3x^4 \) | \( \) | \( -2x^2 \) | \( -4x \) | \( +1 \) | \( \) |
| \( \) | \( \) | \( +4x^3 \) | \( +6x^2 \) | \( -2x \) | \( \) | \( \) |
| \( \) | \( \) | \( +4x^3 \) | \( \) | \( +8/3x \) | \( +16/3 \) | \( \) |
| \( \) | \( \) | \( \) | \( +6x^2 \) | \( +\displaystyle\frac{2}{3}x \) | \( \displaystyle\frac{19}{3} \) | \( \) |
El resultat és
\[\frac{6x^5 -3x^4 + 2x + 1}{-3x^3 + 2x + 4}=-2x^2 + x -4/3 +\frac{ 6x^2 + \displaystyle\frac{2}{3}x + \displaystyle\frac{19}{3} }{-3x^3 + 2x + 4}\]
|
| 9 |
b) \(x^6:(x^4 + x^2 -2)\)
| \( x^6 \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( x^4 + x^2 -2 \) |
| \( -x^6 \) | \( \) | \( -x^4 \) | \( \) | \( +2x^2 \) | \( \) | \( \) | \( x^2 - 1 \) |
| \( \) | \( \) | \( -x^4 \) | \( \) | \( +2x^2 \) | \( \) | \( \) | \( \) |
| \( \) | \( \) | \( +x^4 \) | \( \) | \( +x^2 \) | \( \) | \( -2 \) | \( \) |
| \( \) | \( \) | \( \) | \( \) | \( +3x^2 \) | \( \) | \( -2 \) | \( \) |
El resultat és
\[\frac{x^6}{ x^4 + x^2 -2 }= x^2- 1 +\frac{ 3x^2 - 2 }{ x^4 + x^2 -2 }\]
|
| 9 |
c) \( (2x^3 -x^2 + 3x) : (x-1) \)
| | \( +2\) | \( -1\) | \(+3\) | \( 0\) |
| \(+1\) | \( \) | \( +2\) | \(+1\) | \(+4\) |
| | \( +2\) | \( +1\) | \(+4\) | \(+4\) |
El resultat és
\[\frac{2x^3 -x^2 + 3x}{ x-1 }= 2x^2 + x +4 +\frac{ 4 }{ x-1}\]
|
| 9 |
d) \((x^4 - 1) : (x + 1)\)
| \( \) | \( 1\) | \( 0 \) | \( 0\) | \( 0\) | \(-1\) |
| \(-1 \) | \( \) | \( -1\) | \(+1\) | \( -1\) | \(+1\) |
| \( \) | \( 1\) | \( -1\) | \(+1\) | \( -1\) | \( 0\) |
La divisió es exacta i el resultat és:
\[\frac{x^4 - 1}{ x + 1 }= x^3 - x^2 + x -1 \]
|
| 9 |
e) \(x^3:(x + 2)\)
| \( \) | \( 1\) | \( 0\) | \( 0\) | \(0\) |
| \(-2 \) | \( \) | \( -2\) | \(+4\) | \(-8\) |
| \( \) | \( 1\) | \( -2\) | \(+4\) | \(-8\) |
La divisió es exacta i el resultat és:
\[\frac{x^3}{ x + 2 }= x^2 - 2x + 4 +\frac{ -8 }{ x+2}\]
|
| 9 |
f) \((x^6 - 1) : (x^2 + 1)\)
| \( x^6\) | | | | | | \(-1\) | \( x^2 + 1 \) |
| \(-x^6\) | | \(-x^4\) | | | | | \( x^4-x^2+1 \) |
| | | \(-x^4\) | | | | | |
| | | \(+x^4\) | | \( +x^2\) | | | |
| | | | | \(+x^2\) | | | |
| | | | | \( -x^2\) | | \(-1\) | |
| | | | | | | \(-2\) | |
La divisió es exacta i el resultat és:
\[\frac{x^6 - 1}{ x^2 + 1 }= x^4 - x^2 + 1 +\frac{ -2 }{ x^2 + 1 }\]
|
| 9 |
g) \(\left(\displaystyle\frac{1}{2}x^2 - \displaystyle\frac{1}{3}x + \displaystyle\frac{1}{4}\right) : \left(x - \displaystyle\frac{1}{2}\right)\)
| | \(\displaystyle\frac{1}{2}\) | \(-\displaystyle\frac{1}{3}\) | \(\displaystyle\frac{1}{4}\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{2}\) | | \(\displaystyle\frac{1}{4}\) | \(-\displaystyle\frac{1}{24}\) |
| | \(\displaystyle\frac{1}{2}\) | \(-\displaystyle\frac{1}{12}\) | \(\displaystyle\frac{5}{24}\) |
La divisió es exacta i el resultat és:
\[
\frac{\displaystyle\frac{1}{2}x^2 - \displaystyle\frac{1}{3}x + \displaystyle\frac{1}{4}}{x - \displaystyle\frac{1}{2}}=
\displaystyle\frac{1}{2}x-\displaystyle\frac{1}{12} + \frac{\displaystyle\frac{5}{24} }{x - \displaystyle\frac{1}{2}}
\]
|
| 10 |
En una divisió, el divisor és el polinomi \(x^3-2x^2+3\), el quocient és \(x^2+2x+1\) i el residu és \(-8x-2\).
Quin és el grau del dividend? Pots calcular-lo? Fes-ho.
|
| 10 |
La propietat fonamental diu que
Dividend = quocient×divisor + residu
Per tant el grau del dividend està donat per la multiplicació de quocient i divisor. Així
Grau{Dividend} = Grau{quocient} + Grau{divisor} = 3 + 2 = 5
El grau del residu ha de ser més petit que el del divisor (en aquest cas 1 < 2).
Calculem el dividend:
\[
\begin{array}{rl}
(x^3-2x^2+&3)\cdot(x^2+2x+1) + (-8x-2) \\
&= (x^3-2x^2+3)\cdot x^2 + (x^3-2x^2+3)\cdot2x + (x^3-2x^2+3)\cdot1 -8x-2\\
&= x^5-2x^4+3x^2 + 2x^4-4x^3+6x + x^3-2x^2+3 -8x-2\\
&= x^5 - 3x^3 + x^2 -2x + 1 \\
\end{array}
\]
|
| 11 |
Determina els valors de \(a\) i \(b\), de manera que quan dividim \(3x^4-12x^2+ax+b\)
per \(x^3-2x^2+3\) el residu sigui \(\displaystyle\frac{1}{2}\).
|
| 11 |
| \(3x^4\) | | \(-12x^2\) | \(ax\) | \(b\) | | \(x^3-2x^2+3\) |
| \(-3x^4\) | \(+6x^3\) | | \(-9x\) | | | \( 3x+6 \) |
| | \(+6x^3\) | \(-12x^2\) | \((a-9)x\) | \(b\) | | |
| | \(-6x^3\) | \(+12x^2\) | | \(-18\) | | |
| | | | \(+(a-9)x\) | \((b-18)\) | | |
\[(a-9)x + (b-18) = \displaystyle\frac{1}{2}\]
Perquè dos polinomis siguin iguals els coeficients han de ser iguals:
\((a-9) =0\) \((b-18) = \displaystyle\frac{1}{2}\)
\(a=9\) \(b = \displaystyle\frac{37}{2}\)
|
| 12 |
En una divisió exacta, el dividend és \(x^5-1\) el quocient, \( x^4 + x^3 + x^2 + x + 1\). Calcula'n el divisor.
|
| 12 |
La propietat fonamental diu que
Dividend = quocient×divisor + residu
Si la divisió és exacta el residu ha de ser zero. Per tant:
Dividend = quocient×divisor divisor = Dividend/quocient
| \( x^5\) | | | | | \(-1\) | | \(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1\) |
| \(-x^5\) | \(-x^4\) | \(-x^3\) | \(-x^2\) | \(-x\) | | | \(x-1\) |
| | \(-x^4\) | \(-x^3\) | \(-x^2\) | \(-x\) | \(-1\) | | |
| | \(+x^4\) | \(+x^3\) | \(+x^2\) | \(+x\) | \(+1\) | | |
| | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | | |
\[\frac{x^5-1}{x^4 + x^3 + x^2 + x + 1} = x-1\]
Llavors el divisor és \(x-1\)
|
| 13 |
Determina el valor de \(k\) per tal que la divisió \((2x^3-x^2+k):(x + 2)\) sigui exacta.
|
| 13 |
Fem la divisió
| \( 2x^3\) | \(- x^2\) | | \(k\) | | \(x + 2\) |
| \(-2x^3\) | \(-4x^2\) | | | | \(2x^2-5x+10\) |
| | \(-5x^2\) | | | | |
| | \(+5x^2\) | \(+10x\) | | | |
| | | \(+10x\) | \(k\) | | |
| | | \(-10x\) | \(-20\) | | |
| | | | \(k-20\) | | |
Llavors si és exacta el residu ha de ser nul: \(k-20=0\). Per tant
\[k=20\]
També la podem fer per Ruffini
| \( \) | \( 2\) | \( -1\) | \( 0\) | \(k\) |
| \(-2 \) | \( \) | \( -4\) | \(+10\) | \(-20\) |
| \( \) | \( 2\) | \( -5\) | \(+10\) | \(k-20\) |
Igualment si és exacta el residu ha de ser nul: \(k-20=0\). Per tant
\[k=20\]
|