| pàg. 42 |
| 14 |
Tria el mètode que consideris més convenient per trobar el valor numèric d’aquests polinomis per al valor que s’indica:
| a) | \( \left(-\displaystyle\frac{3}{2}x^4 -5x^3 + 4x -2\right) \) per a \(x=12\) |
| b) | \( \left(-x^6+x^4-\sqrt{2}x^3-x^2\right) \) per a \(x=\sqrt{2}\) |
| c) | \( \left(\displaystyle\frac{2}{5}x^3 +\displaystyle\frac{1}{5}x^2 + \displaystyle\frac{3}{5}x+1\right) \) per a \(x=-5\) |
|
| 14 |
a) \(A(x)=\left(-\displaystyle\frac{3}{2}x^4 -5x^3 + 4x -2\right)\) per a \(x=12\)
\[
\begin{array}{rl}
A(12)&= -\displaystyle\frac{3}{2}12^4 -5\cdot12^3 + 4\cdot12 -2\\
&= -\displaystyle\frac{3}{2}20736 -5\cdot1.728 + 4\cdot12 -2\\
&= -31104 -8.640 + 48 -2\\
&= -39698
\end{array}
\]
Però també ho podiem fer amb Ruffini, degut a que \(A(12)\) és el residu de la divisió per \(x-12\)
| \( \) | \( -\displaystyle\frac{3}{2}\) | \( -5\) | \( 0\) | \( 4\) | \(-2\) |
| \(12\) | | \(-18\) | \(-276\) | \(-3312\) | \(-39696\) |
| \( \) | \( -\displaystyle\frac{3}{2}\) | \(-23\) | \(-276\) | \(-3308\) | \(-39698\) |
|
| 14 |
b) \(B(x)=\left(-x^6+x^4-\sqrt{2}x^3-x^2\right)\) per a \(x=\sqrt{2}\)
\[
\begin{array}{rl}
B(\sqrt{2}) &= -\left(\sqrt{2}\right)^6+\left(\sqrt{2}\right)^4-\sqrt{2}\left(\sqrt{2}\right)^3-\left(\sqrt{2}\right)^2\\
&= -\left(2^{1/2}\right)^6+\left(2^{1/2}\right)^4-\left(2^{1/2}\right)^4-\left(2^{1/2}\right)^2\\
&= -2^3+2^2-2^2-2\\
&= -8+4-4-2\\
&= -10
\end{array}
\]
Però també ho podiem fer amb Ruffini, degut a que \(B(\sqrt{2})\) és el residu de la divisió per \(x-\sqrt{2}\)
| | \(-1\) | \(0\) | \(+1\) | \(-\sqrt{2}\) | \(-1\) | \(0\) | \(0\) |
| \(\sqrt{2}\) | | \(-\sqrt{2}\) | \(-2\) | \(-\sqrt{2}\) | \(-4\) | \(-5\sqrt{2}\) | \(-10\) |
| | \(-1\) | \(-\sqrt{2}\) | \(-1\) | \(-2\sqrt{2}\) | \(-5\) | \(-5\sqrt{2}\) | \(-10\) |
|
| 14 |
c) \(C(x)=\displaystyle\frac{2}{5}x^3 +\displaystyle\frac{1}{5}x^2 + \displaystyle\frac{3}{5}x+1\) per a \(x=-5\)
\[
\begin{array}{rl}
C(-5) &= \displaystyle\frac{2}{5}(-5)^3 +\displaystyle\frac{1}{5}(-5)^2 + \displaystyle\frac{3}{5}(-5)+1\\
&= -2\cdot5^2 + 5 - 3 + 1\\
&= -50 + 5 -3 + 1\\
&= -47
\end{array}
\]
Però també ho podiem fer amb Ruffini, degut a que \(B(\sqrt{2})\) és el residu de la divisió per \(x-\sqrt{2}\)
| | \(\displaystyle\frac{2}{5}\) | \( \displaystyle\frac{1}{5}\) | \(\displaystyle\frac{3}{5}\) | \(+1\) |
| \(-5\) | | \(-2\) | \(+9\) | \(-48\) |
| | \(\displaystyle\frac{2}{5}\) | \(-\displaystyle\frac{9}{5}\) | \(\displaystyle\frac{48}{5}\) | \(-47\) |
|
| 15 |
Calcula el residu de la divisió \((2x^3-3):(x-2)\).
Fes-ho mitjançant els dos procediments que hem analitzat.
Explica quin és el més ràpid.
|
| 15 |
Fem la divisió
| \( 2x^3\) | | | \(-3\) | | \(x - 2\) |
| \(-2x^3\) | \(+4x^2\) | | | | \(2x^2+4x+8\) |
| | \(-4x^2\) | \(+8x\) | | | |
| | | \(-8x\) | \(+16\) | | |
| | | | \(+13\) | | |
Però també ho podiem fer amb Ruffini, degut a que és una divisió per \(x-2\)
| \( \) | \(+2\) | \( 0\) | \( 0\) | \(-3\) |
| \(2\) | | \(+4\) | \(+8\) | \(+16\) |
| \( \) | \(+2\) | \(+4\) | \(+8\) | \(+13\) |
Però és molt més ràpid el Teorema del Residu: \(2\cdot2^3-3=16-3=13\)
En qualsevol cas el residu és 13 i la divisió és:
\[(2x^3-3):(x-2)=\frac{2x^3-3}{x-2}=2x^2+4x+8+\frac{13}{x-2}\]
|
| 16 |
Determina el valor de \(k\) per tal que la divisió \(\left(x^3-3x^2+5x+k\right):\left(x+3\right)\) sigui exacta.
|
| 16 |
Sempre és més fàcil i ràpid amb Ruffini que fent la divisió normal
| \( \) | \(+1\) | \(-3\) | \(+5\) | \(+k\) |
| \(-3\) | | \(-3\) | \(+18\) | \(-69\) |
| \( \) | \(+1\) | \(-6\) | \(+23\) | \(k-69\) |
Si ha de ser exacta el residu ha de ser zero: \(k-69=0\)
\[k=69\]
Però encara és molt més ràpid el Teorema del Residu:
\[(-3)^3-3(-3)^2+5(-3)+k=0\]
\[-27-27-15+k=0\]
\[-69+k=0\]
\[k=69\]
L'expressió de la divisió, que no ens la demanen, resultant és:
\[(x^3-3x^2+5x-69):(x+3)=\frac{x^3-3x^2+5x-69}{x+3}=x^2-6x+23\]
|
| 17 |
Troba el residu de la divisió \(\left(x^9+1\right):\left(x+1\right)\). Pots obtenir-lo sense necessitat de fer la divisió.
|
| 17 |
Utilitzant el Teorema del Residu: \[(-1)^9+1=-1+1=0\]. La divisió és exacta.
|