ÍNDEX 01 Polinomis d'una indeterminada 02 Operacions amb Polinomis 03 Divisió de Polinomis. Regla de Ruffini 04 Teorema del Residu 05 Divisibilitat de Polinomis 06 Arrels d'un Polinomi 07 Factorització de Polinomis 08 MCM i MCD de Polinomis 09 Fraccions algebraiques 10 Operacions amb fraccions algebraiques Tasca a presentar
09 Fraccions algebraiques

pàg. 51
35 Determina si els parells de fraccions següents són equivalents:
a) \(\displaystyle\frac{x^2-25}{x^2+7x+10}\) i \(\displaystyle\frac{x-5}{x+2}\)
b) \(\displaystyle\frac{1}{x+1}\) i \(\displaystyle\frac{x-1}{x^2+2}\)
35 a) \(\displaystyle\frac{x^2-25}{x^2+7x+10}\) i \(\displaystyle\frac{x-5}{x+2}\)

1a manera
Equivalents vol dir que son iguals. Per tant tenen la mateixa irreductible.

\(\displaystyle\frac{x^2-25}{x^2+7x+10}=\displaystyle\frac{x^2-5^2}{(x+2)(x+5)}=\displaystyle\frac{(x-5)(x+5)}{(x+2)(x+5)} =\displaystyle\frac{x-5}{x+2}\)
Si, son equivalents.

2a manera
També\(\displaystyle\frac{x^2-25}{x^2+7x+10}=\displaystyle\frac{x-5}{x+2}\) i llavors \((x^2-25)(x+2)=(x^2+7x+20)(x-5)\)

\((x^2-25)(x+2)=x^3-25x+2x^2-50=x^3+2x^2-25x-50\)
\((x^2+7x+10)(x-5)=x^3+7x^2+10x-5x^2-35x-50=x^3+2x^2-25x-50\)
Si, son equivalents.

35 b) \(\displaystyle\frac{1}{x+1}\) i \(\displaystyle\frac{x-1}{x^2+2}\)

1a manera
Equivalents vol dir que son iguals. Cap de les dues es pot simplificar, no tenen la mateixa irreductible.
No son equivalents.

2a manera
Com que \(\displaystyle\frac{1}{x+1}=\displaystyle\frac{x-1}{x^2+2}\) sempre \((1)(x^2+2)=(x+1)(x-1)\) que clarament no es satisfa.

\((1)(x^2+2)=x^2+2\)
\((x+1)(x-1)=x^2-1\)
No son equivalents.




36 Considera la fracció \(\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)}\). Indica quines d’aquestes fraccions són equivalents a la fracció donada:
a) \(\displaystyle\frac{4P(x)}{4Q(x)}\)         b) \(\displaystyle\frac{10P(x)}{5Q(x)}\)
c) \(\displaystyle\frac{3+P(x)}{3+Q(x)}\)         d) \(\displaystyle\frac{[P(x)]^2}{[Q(x)]^2}\)
36 a)\(\displaystyle\frac{4P(x)}{4Q(x)}=\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)}\) son equivalents
b)\(\displaystyle\frac{10P(x)}{5Q(x)}=2\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)}\) no son equivalents. És el doble.
c)\(\displaystyle\frac{3+P(x)}{3+Q(x)}\) no son equivalents. No tenen res a veure.
d)\(\displaystyle\frac{[P(x)]^2}{[Q(x)]^2}=\left[\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)}\right]^2\) no son equivalents. És el quadrat de l'original.


37 Indica per a quins valors de \(x\) no té valor numèric la fracció algèbrica: \[\frac{2x+7}{2x^2-x-1}\]
37 Son els valors que anules el denominador: \[2x^2-x-1=0\] \[ x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot2\cdot(-1)}}{2\cdot2}=\frac{1\pm\sqrt{9}}{4}=\frac{1\pm3}{4}= \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\frac{1+3}{4}=1\\ \displaystyle\frac{1-3}{4}=-\displaystyle\frac{1}{2} \end{array} \right. \] Per tant no té valor numèric (és infinit) per \(x=1\) i \(x=-\displaystyle\frac{1}{2}\).


38 Simplifica aquestes fraccions algèbriques:
a) \(\displaystyle\frac{x^2-7x+10}{2x^2-50}\)         b) \(\displaystyle\frac{x^3-1}{x^2-3x+2}\)
c) \(\displaystyle\frac{x^3-5x+4}{x^3-3x^2+3x-1}\)         d) \(\displaystyle\frac{x^4-16}{x^3+2x^2+4x+8}\)
e) \(\displaystyle\frac{3x^2-5x+2}{4x^2-4}\)         f) \(\displaystyle\frac{2x^2-4x+2}{x^2-1}\)
38 a) \(\displaystyle\frac{x^2-7x+10}{2x^2-50}\)
Només amb la solució de l'equació de segon grau i els productes notables.
\[\frac{x^2-7x+10}{2x^2-50}=\frac{(x-2)(x-5)}{2(x^2-25)}=\frac{(x-2)(x-5)}{2(x+5)(x-5)}=\frac{x-2}{2(x+5)}\]
38 b) \(\displaystyle\frac{x^3-1}{x^2-3x+2}\)
Amb la solució de l'equació de segon grau
\[\frac{x^3-1}{x^2-3x+2}=\frac{x^3-1}{(x-1)(x-2)}\] Amb Ruffini
\(+1\) \(0\) \(0\) \(-1\)
\(1\) \(+1\) \(+1\) \(+1\)
\(+1\) \(+1\) \(+1\) \(0\)
\[\frac{x^3-1}{x^2-3x+2}=\frac{x^3-1}{(x-1)(x-2)}=\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x-2)}=\frac{x^2+x+1}{x-2}\]
38 c) \(\displaystyle\frac{x^3-5x+4}{x^3-3x^2+3x-1}\)

Amb Ruffini

\(+1\) \(0\) \(-5\) \(+4\)
\(1\) \(+1\) \(+1\) \(-4\)
\(+1\) \(+1\) \(-4\) \(0\)
        
\(+1\) \(-3\) \(+3\) \(-1\)
\(1\) \(+1\) \(-2\) \(+1\)
\(+1\) \(-2\) \(+1\) \(0\)
\(1\) \(+1\) \(-1\)
\(+1\) \(-1\)\(0\)
\(1\) \(+1\)
\(+1\)\( 0\)
\[\frac{x^2-5x+4}{x^3-3x^2+3x-1}=\frac{(x-1)(x^2+x-4)}{(x-1)^3}=\frac{x^2+x-4}{(x-1)^2}\]
38 d) \(\displaystyle\frac{x^4-16}{x^3+2x^2+4x+8}\)
Amb productes notables
\[\frac{x^4-16}{x^3+2x^2+4x+8}=\frac{(x^2)^2-4^2}{x^3+2x^2+4x+8}=\frac{(x^2+4)(x^2-4)}{x^3+2x^2+4x+8}=\frac{(x^2+4)(x+2)(x-2)}{x^3+2x^2+4x+8}\] Amb Ruffini
\(+1\) \(+2\) \(+4\) \(+8\)
\(-2\) \(-2\) \(0\) \(-8\)
\(+1\) \(0\) \(+4\) \(0\)
\[\frac{x^4-16}{x^3+2x^2+4x+8}=\frac{(x^2+4)(x+2)(x-2)}{x^3+2x^2+4x+8}=\frac{(x^2+4)(x+2)(x-2)}{(x+2)(x^2+4)}=x-2\]
38 e) \(\displaystyle\frac{3x^2-5x+2}{4x^2-4}\)
Amb la solució de l'equació de segon grau i amb productes notables
\[\frac{3x^2-5x+2}{4x^2-4}=\frac{(3x-2)(x-1)}{4(x^2-1)}=\frac{(3x-2)(x-1)}{4(x+1)(x-1)}=\frac{3x-2}{4(x+1)}\]
38 f) \(\displaystyle\frac{2x^2-4x+2}{x^2-1}\)
Amb factor comú i amb productes notables
\[\frac{2x^2-4x+2}{x^2-1}=\frac{2(x^2-2x+1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{2(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}=\frac{2(x-1)}{x+1}\]








MathJax.version: