| pàg. 43 |
| 18 |
Comprova que \(P(x)=x^3-3x^2-6x+8\) és divisible per \(x+2\). Expressa el polinomi \(P(x)\) com a producte de dos polinomis.
|
| 18 |
Si \(P(x)=x^3-3x^2-6x+8\) és divisible per \(x+2\), llavors \(P(-2)=0\)
\[P(-2)=(-2)^3-3(-2)^2-6(-2)+8=-8-12+12+8=0\]
Fem la divisió
| \( \) | \(+1\) | \(-3\) | \(-6\) | \(+8\) |
| \(-2\) | | \(-2\) | \(+10\) | \(-8\) |
| \( \) | \(+1\) | \(-5\) | \(+4\) | \(0\) |
que surt exacta com ja sabiem i podem expressar la divisió com
\[\frac{P(x)}{x+2}=\frac{x^3-3x^2-6x+8}{x+2}=x^2-5x+4\]
i per tant \(P(x)\) factoritza:
\[P(x)=x^3-3x^2-6x+8=(x^2-5x+4)\cdot(x+2)\]
|
| 19 |
Troba el valor de k perquè el polinomi \((x^4+k)\) sigui divisible per \((x+1)\).
|
| 19 |
Si és divisible vol dir que substituint \(x=-1\) el valor del polinomi ha de donar zero:
\[(-1)^4+k=0\]
\[1+k=0\]
\[k=-1\]
|
| 20 |
Un polinomi \(P(x)\) només té els divisors \(3\), \(x^2-1\) i \(\displaystyle\frac{1}{3}x+\displaystyle\frac{2}{9}\). Troba P(x).
|
| 20 |
Si només té aquests divisors, una sola vegada, llavors:
\[P(x)=3\left(x^2-1\right)\left(\displaystyle\frac{1}{3}x+\displaystyle\frac{2}{9}\right)\]
i multiplicant:
\[
\begin{array}{rl}
P(x) =3\left(x^2-1\right)\left(\displaystyle\frac{1}{3}x+\displaystyle\frac{2}{9}\right)
&=\left(x^2-1\right)\left(x+\displaystyle\frac{2}{3}\right)\\
&=\left(x^2-1\right)x+\left(x^2-1\right)\displaystyle\frac{2}{3}\\
&=x^3-x+\displaystyle\frac{2}{3}x^2-\displaystyle\frac{2}{3}
\end{array}
\]
\[
P(x) =x^3+\displaystyle\frac{2}{3}x^2-x-\displaystyle\frac{2}{3}\\
\]
|
| 21 |
Calcula \(k\) perquè el polinomi \(x^3-3x^2+k\) sigui múltiple de \((x+1)\).
|
| 21 |
Si és múltiple de \((x+1)\) vol dir que la divisió de \((x^3-3x^2+k)\) per \((x+1)=(x-(-1))\) ha de ser exacta.
Si és exacta, teorema del residu, sustituint \((-1)\) a \(x^3-3x^2+k\) ha de donar zero:
\[(-1)^3-3(-1)^2+k\]
\[-1-3+k=0\]
\[k=4\]
|
| 22 |
Indica si són certes o falses aquestes afirmacions:
| a) | \(x^4 -1\) és divisible per \((x+1)\) |
| b) | \(x^5 -1\) és múltiple de \((x-1)\) |
| c) | \((x+2)\) és divisor de \(x^3+8\) |
| d) | \((x^7 + 1)\) és múltiple de \((x+1)\) |
| e) | \((x+3)\) és divisor de \((x^3 - 27)\) |
|
| 22 |
Sempre implica divisions exactes. Per tant residus zero.
| a) | \(x^4 -1\) és divisible per \((x+1)\) | Cert. \((-1)^4 -1=-1+1=0\) |
| b) | \(x^5 -1\) és múltiple de \((x-1)\) | Cert. \(1^5-1 = 1-1 = 0\) és múltiple de \((x-1)\) |
| c) | \((x+2)\) és divisor de \(x^3+8\) | Cert. \((-2)^3+8=-8+8=0\) |
| d) | \((x^7 + 1)\) és múltiple de \((x+1)\) | Cert. \( (-1)^7 + 1=-1+1=0\) és múltiple de \((x+1)\) |
| e) | \((x+3)\) és divisor de \((x^3 - 27)\) | Fals. \((-3)^3 - 27=-27-27=-54\neq0\)
|
|