| pàg. 37 |
| 6 |
Considera els polinomis:
|
\(A(x)= x^3 -3x^2 +5x -\displaystyle\frac{3}{4}\)
\(B(x) = - x^3 + \displaystyle\frac{7}{2}x +3\)
\(C(x) = 2x^2 - 4x \)
|
|
Calcula:
|
| a) \( A(x) + B(x) \) |
|
b) \( A(x) - B(x) \) |
| c) \( C(x) + B(x) + A(x) \) |
|
d) \( B(x)-[A(x)-C(x)] \) |
| e) \( -x^2[B(x-C(x)]\) |
|
f) \( 3A(x)-6B(x)+\displaystyle\frac{1}{2}C((x)\) |
| g) \( B(x)\cdot C(x) \) |
|
h) \( \left[C(x)\right]^3 \) |
| Contesta les qüestions següents i justifica les respostes: |
| a) | Per què el grau del polinomi \(A(x) + B(x)\) no és 3?
|
| b) | Quin és el grau del polinomi \( -x^2[B(x-C(x)] \)? |
| c) | Per què el grau del polinomi \([C(x)]^3\) és 6? |
| d) | És cert que: \(B(x)-[A(x)-C(x)]=B(x)-A(x)+C(x)\)? |
|
| 6 |
a) \( A(x) + B(x) \)
Podeu fer la suma en línia:
\[
\begin{array}{rl}
A(x) + B(x) &= \left(x^3 -3x^2 +5x -\displaystyle\frac{3}{4}\right) + \left(- x^3 + \displaystyle\frac{7}{2}x + 3\right)\\
&= x^3 -3x^2 +5x -\displaystyle\frac{3}{4} - x^3 + \displaystyle\frac{7}{2}x + 3 \\
&= - x^3 + x^3 -3x^2 +5x + \displaystyle\frac{7}{2}x -\displaystyle\frac{3}{4}+ 3 \\
&= -3x^2 + \displaystyle\frac{17}{2}x +\displaystyle\frac{9}{4}
\end{array}
\]
Opcionalment podeu fer servir una tècnica elemental hereva de la suma de nombres: colocar els graus en columnes. També ho podeu tractant només amb coeficients.
| | \( x^3\) | \(-3x^2\) | \( +5x\) | \(-\displaystyle\frac{3}{4}\) |
| ⨁ | \(-x^3\) | | \( +\displaystyle\frac{7}{2}x\) | \( + 3\) |
| | \(-3x^2\) | \(+\displaystyle\frac{17}{2}x\) | \(+\displaystyle\frac{9}{4}\) |
|
|
| | \( 1\) | \(-3\) | \( +5\) | \(-\displaystyle\frac{3}{4}\) |
| ⨁ | \(-1\) | 0 | \( +\displaystyle\frac{7}{2}\) | \( + 3\) |
| 0 | \(-3\) | \(+\displaystyle\frac{17}{2}\) | \(+\displaystyle\frac{9}{4}\) |
|
El símbol ⨁ no es standard però ajuda a no confondre amb signes dels polinomis.
|
| 6 |
b) \( A(x) - B(x) = A(x) + [- B(x)] \)
\[
\begin{array}{rl}
A(x) - B(x) &= \left(x^3 -3x^2 +5x -\displaystyle\frac{3}{4}\right) - \left(- x^3 + \displaystyle\frac{7}{2}x + 3\right)\\
&= x^3 -3x^2 +5x -\displaystyle\frac{3}{4} + x^3 - \displaystyle\frac{7}{2}x - 3 \\
&= x^3 + x^3 -3x^2 +5x - \displaystyle\frac{7}{2}x -\displaystyle\frac{3}{4}- 3 \\
&= 2x^3 -3x^2 + \displaystyle\frac{3}{2}x - \displaystyle\frac{15}{4}
\end{array}
\]
| | \( x^3\) | \(-3x^2\) | \( +5x\) | \(-\displaystyle\frac{3}{4}\) |
| ⊖ | \(-x^3\) | | \(+\displaystyle\frac{7}{2}x\) | \( + 3\) |
| | \(2x^3\) | \(-3x^2\) | \(+\displaystyle\frac{3}{2}x\) | \(-\displaystyle\frac{15}{4}\) |
|
|
| | \( 1\) | \(-3\) | \( +5\) | \( -\displaystyle\frac{3}{4}\) |
| ⊖ | \(-1\) | 0 | \(+\displaystyle\frac{7}{2}\) | \( + 3\) |
| | \( 2\) | \(-3\) | \(+\displaystyle\frac{3}{2}\) | \(-\displaystyle\frac{15}{4}\) |
|
Podeu transformar les restes en sumes i sumar els coeficients.
| | \( x^3\) | \(-3x^2\) | \( +5x\) | \(-\displaystyle\frac{3}{4}\) |
| ⊕ | \(x^3\) | | \(-\displaystyle\frac{7}{2}x\) | \( -3\) |
| | \(2x^3\) | \(-3x^2\) | \(+\displaystyle\frac{3}{2}x\) | \(-\displaystyle\frac{15}{4}\) |
|
|
| | \(1\) | \(-3\) | \( +5\) | \( -\displaystyle\frac{3}{4}\) |
| ⊕ | \(1\) | 0 | \(-\displaystyle\frac{7}{2}\) | \( -3\) |
| | \(2\) | \(-3\) | \(+\displaystyle\frac{3}{2}\) | \(-\displaystyle\frac{15}{4}\) |
|
Els símbols ⊖ i ⨁ no es standard però ajuda a no confondre amb signes dels ppolinomis.
|
| 6 |
c) \( C(x) + B(x) + A(x) \)
Podeu fer la suma en línia:
\[
\begin{array}{rl}
C(x) + B(x) + A(x) &=\left(2x^2 - 4x\right) + \left(- x^3 + \displaystyle\frac{7}{2}x + 3\right) + \left(x^3 -3x^2 +5x -\displaystyle\frac{3}{4}\right) \\
&= 2x^2 - 4x - x^3 + \displaystyle\frac{7}{2}x + 3 + x^3 -3x^2 +5x -\displaystyle\frac{3}{4} \\
&= x^3 - x^3 + 2x^2 -3x^2 +5x - 4x + \displaystyle\frac{7}{2}x -\displaystyle\frac{3}{4}+ 3 \\
&= -x^2 + \displaystyle\frac{9}{2}x +\displaystyle\frac{9}{4}
\end{array}
\]
Igualment que amb apartats anteriors opcionalment podeu fer servir una tècnica elemental hereva de la suma de nombres: colocar els graus en columnes.
També ho podeu tractant només amb coeficients.
| | | \(2x^2\) | \( -4x\) | |
| | \(-x^3\) | | \( +\displaystyle\frac{7}{2}x\) | \( + 3\) |
| ⨁ | \( x^3\) | \(-3x^2\) | \( +5x\) | \(-\displaystyle\frac{3}{4}\) |
| | \(-x^2\) | \(+\displaystyle\frac{9}{2}x\) | \(+\displaystyle\frac{9}{4}\) |
|
|
| | | \(2\) | \( -4\) | 0 |
| | \(-1\) | 0 | \( +\displaystyle\frac{7}{2}\) | \( + 3\) |
| ⨁ | \( 1\) | \(-3\) | \( +5\) | \(-\displaystyle\frac{3}{4}\) |
| | \(-1\) | \( +\displaystyle\frac{9}{2}\) | \(+\displaystyle\frac{9}{4}\) |
|
El símbol ⨁ no es standard però ajuda a no confondre amb signes dels polinomis.
|
| 6 |
d) \( B(x)-[A(x)-C(x)] = B(x)-A(x)+C(x) = C(x)+B(x)-A(x) \)
Podeu fer la suma en línia:
\[
\begin{array}{rl}
C(x) + B(x) - A(x) &=\left(2x^2 - 4x\right) + \left(- x^3 + \displaystyle\frac{7}{2}x + 3\right) - \left(x^3 -3x^2 +5x -\displaystyle\frac{3}{4}\right) \\
&= 2x^2 - 4x - x^3 + \displaystyle\frac{7}{2}x + 3 - x^3 +3x^2 -5x +\displaystyle\frac{3}{4} \\
&= - x^3 - x^3 + 2x^2 +3x^2 -5x - 4x + \displaystyle\frac{7}{2}x +\displaystyle\frac{3}{4}+ 3 \\
&= - 2x^3 + 5x^2 - \displaystyle\frac{11}{2}x +\displaystyle\frac{15}{4}
\end{array}
\]
Igualment que amb apartats anteriors opcionalment podeu colocar els graus en columnes i er les operacions corresponents.
|
| 6 |
e) \( -x^2[B(x-C(x)] \)
Amb paciència:
\[
\begin{array}{rl}
B(x) - C(x) &= \left(- x^3 + \displaystyle\frac{7}{2}x + 3\right) - \left(2x^2 - 4x\right) \\
&= - x^3 + \displaystyle\frac{7}{2}x + 3 - 2x^2 + 4x\\
&= - x^3 - 2x^2 + \displaystyle\frac{7}{2}x + 4x + 3 \\
&= - x^3 - 2x^2 + \displaystyle\frac{15}{2}x + 3
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{rl}
-x^2[B(x-C(x)] &= -x^2\left(- x^3 - 2x^2 + \displaystyle\frac{15}{2}x + 3 \right) \\
&= x^5 + 2x^4 - \displaystyle\frac{15}{2}x^3 - 3x^2
\end{array}
\]
|
| 6 |
f) \( 3A(x)-6B(x)+\displaystyle\frac{1}{2}C(x) \)
De nou, amb calma i paciència:
\[
\begin{array}{rl}
3A(x)-6B(x)+\displaystyle\frac{1}{2}C(x)
&= 3\left(x^3 -3x^2 +5x -\displaystyle\frac{3}{4}\right) -6\left(- x^3 + \displaystyle\frac{7}{2}x + 3\right) + \displaystyle\frac{1}{2}\left(2x^2 - 4x\right) \\
&= 3x^3 -9x^2 +15x -\displaystyle\frac{9}{4} + 6x^3 -21x - 18 + x^2 - 2x \\
&= 3x^3 + 6x^3 -9x^2 + x^2 +15x -21x - 2x -\displaystyle\frac{9}{4} - 18 \\
&= 9x^3 - 8x^2 -8x -\displaystyle\frac{81}{4}
\end{array}
\]
|
| 6 |
g) \( B(x)\cdot C(x)]\)
Utilizant la propietat distributiva, recordeu que era \(a\cdot(b\pm c)=a\cdot b\pm a\cdot c\), disciplinadament:
\[
\begin{array}{rl}
B(x)\cdot C(x)
&= \left(- x^3 + \displaystyle\frac{7}{2}x + 3\right)\cdot\left(2x^2 - 4x\right) \\
&= \left(- x^3 + \displaystyle\frac{7}{2}x + 3\right)\cdot2x^2 - \left(- x^3 + \displaystyle\frac{7}{2}x + 3\right)\cdot4x \\
&= - 2x^5 + 7x^3 + 6x^2 +4x^4 -14x^2 - 12x \\
&= - 2x^5 + 4x^4 + 7x^3 -8x^2 - 12x \\
\end{array}
\]
Podeu fer servir una tècnica hereva de la multiplicació de nombres.
També ho podeu tractant només amb coeficients.
La fila de zeros la podeu evitar: no cal escriure-la.
Però cal recordar que cal moure un grau (un lloc cap a l'esquerra) per cada grau buit.
| | \(-x^3\) | | \(+\displaystyle\frac{7}{2}x\) | \(+3\) |
| | ⊗ | | \(+2x^2\) | \(-4x\) |
| | \(+4x^4\) | | \(-14x^2\) | \(-12x\) |
| \(-2x^5\) | | \(7x^3\) | \(+6x^2\) | |
| \(-2x^5\) | \(+4x^4\) | \(+7x^3\) | \(-8x^2\) | \(-12x\) |
|
|
| | | \(-1\) | 0 | \(+\displaystyle\frac{7}{2}\) | +3 |
| | ⊗ | | \(+2\) | \(-4\) | 0 |
| | | 0 | 0 | 0 | 0 |
| | \(+4\) | 0 | \(-14\) | \(-12\) | |
| \(-2\) | 0 | \(7\) | \(+6\) | | |
| \(-2\) | \(+4\) | \(+7\) | \(-8\) | \(-12\) | 0 |
|
El símbol ⊗ no es standard però ajuda a no confondre amb les indeterminades dels polinomis.
|
| 6 |
h) \( \left[C(x)\right]^3 \)
Pimer cal recordar que:
\[\left[C(x)\right]^3=\left(2x^2 - 4x\right)\cdot\left(2x^2 - 4x\right)\cdot\left(2x^2 - 4x\right)=\left(2x^2 - 4x\right)^2\cdot\left(2x^2 - 4x\right)\]
Utilizant productes notables
\[\left(2x^2 - 4x\right)^2 = \left(2x^2\right)^2 -2\cdot2x^2\cdot4x+\left(4x\right)^2 =4x^4-16x^3+16x^2\]
Així
\[\left[C(x)\right]^3=\left(4x^4-16x^3+16x^2\right)\cdot\left(2x^2 - 4x\right)\]
Com en l'apartat anterior, utilitzant la propietat distributiva
\[
\begin{array}{rl}
\left[C(x)\right]^3
&= 4x^4\cdot\left(2x^2 - 4x\right)-16x^3\cdot\left(2x^2 - 4x\right)+16x^2\cdot\left(2x^2 - 4x\right) \\
&= 8x^6-16x^5 -32x^5 +64x^4+32x^4-64x^3\\
&= 8x^6-48x^5 +96x^4-64x^3
\end{array}
\]
Podeu fer servir una tècnica hereva de la multiplicació de nombres.
| | \(2x^2\) | \(-4x\) |
| ⊗ | \(2x^2\) | \(-4x\) |
| | \(-8x^3\) | \(+16x^2\) |
| \(4x^4\) | \(-8x^3\) | |
| \(4x^4\) | \(-16x^3\) | \(+16x^2\) |
|
|
| | \(4x^4\) | \(-16x^3\) | \(+16x^2\) |
| ⊗ | | \(2x^2\) | \(-4x\) |
| | \(-16x^5\) | \(+64x^4\) | \(-64x^3\) |
| \(+8x^6\) | \(-32x^5\) | \(+32x^4\) | |
| \(8x^6\) | \(-48x^5\) | \(+96x^4\) | \(-64x^3\) |
|
El símbol ⊗ no es standard però ajuda a no confondre amb les indeterminades dels polinomis (és més standard el ×).
|
| 6 |
|
Contesta les qüestions següents i justifica les respostes:
|
| a) |
El grau del polinomi \(A(x) + B(x)\) no és de tercer grau perquè els coeficients de 3r grau són oposats i es cancel·len.
|
| b) |
El grau del polinomi \([B(x)-C(x)]\) és 3 al multiplicar-lo per un de grau 2 el polinomi resultant és de grau 5.
|
| c) |
El grau del polinomi \([C(x)]^3\) és 6, ja que \(C(x)\) es de grau 2 i per tant al multiplicar-lo \(2+2+2=6\)
|
| d) |
Si. Ja que \(B(x)-[A(x)-C(x)]=B(x)-A(x)-(-C(x))=B(x)-A(x)+C(x)\).
|
|
| 7 |
Si \(A(x)= 3x^3 -2x^2 + 7\) i \(B(x)=x^4-5x^3+2x\) determina:
| a) | El polinomi \(C(x)\) que verifica \(A(x)+C(x)=B(x)\). |
| b) | El polinomi \(D(x)\) que verifica \(B(x)+D(x)=A(x)\). |
| c) | La relació que hi ha entre els polinomis \(C(x)\) i \(D(x)\). |
|
| 7 |
a) Si \(A(x)+C(x)=B(x)\) llavors \(C(x)=B(x)-A(x)\)
\[
\begin{array}{rl}
C(x)=B(x)-A(x) &= \left(x^4-5x^3+2x\right) - \left(3x^3 -2x^2 + 7\right) \\
&= x^4-5x^3+2x-3x^3 +2x^2 - 7 \\
&= x^4-8x^3 +2x^2+2x - 7
\end{array}
\]
|
|
b) Si \(B(x)+D(x)=A(x)\) llavors \(D(x)=A(x)-B(x)\).
\[
\begin{array}{rl}
D(x)=A(x)-B(x) &= \left(3x^3 -2x^2 + 7\right) - \left(x^4-5x^3+2x\right) \\
&= 3x^3 -2x^2 + 7 - x^4+5x^3-2x \\
&= - x^4 +8x^3 -2x -2x^2 + 7
\end{array}
\]
|
|
c) Els polinomis \(C(x)\) i \(D(x)\) son oposats \(C(x)=-D(x)\).
\[C(x)=B(x)-A(x)=-(A(x)-B(x))=-D(x)\]
|