| pàg. 46 |
| 23 |
Determina, si és possible, les arrels enteres d’aquests polinomis:
| \(A(x) = x^3-5x^2+6x\) | | \(B(x) = 6x^3+7x^2-9x+2\) |
| \(C(x) = 2x^3+2\) | | \(D(x)=x^3+7x^2+6x\) |
| \(E(x) = x^3+2x^2+x+2\) | | \(F(x) = x^4+x^2-2\) |
|
| 23 |
\(A(x) = x^3-5x^2+6x = x\cdot\left(x^2 - 5x + 6\right)\)
1a manera
Com que les arrels son les solucions de l'equació \(A(x) = 0\), la primera arrel és zero.
Les altres dos venen de les solucions de l'equació \(x^2 - 5x + 6=0\)
\[
x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot1\cdot6}}{2\cdot1}=\frac{5\pm\sqrt{25-24}}{2}=\frac{5\pm1}{2}
=\left\{\begin{array}{l}\displaystyle\frac{5+1}{2}=3\\ \displaystyle\frac{5-1}{2}=2\end{array}\right.
\]
Totes les arrels son 0, 2 i 3. Llavors
\(A(x) = x^3-5x^2+6x = (x-0)\cdot(x-2)\cdot(x-3) = x(x-2)(x-3)\)
2a manera
També ho podriem fer amb Ruffini fins trobar una divisió exacta, el métode és:
usant els divisors del terme independent. Els divisors son \(\{\pm1,\pm2,\pm3,\pm6\}\).
Si el polinomi té coeficients positius i negatius comencem amb els divisor positius. Els candidats son \(\{+1,+2,+3,+6\}\).
Usualment si els coeficients no son molt grans es comença pels de menor valor absolut. Els candidats son \(\{+1,+2,+3\}\).
Així:
| | \(+1\) | \(-5\) | \(+6\) |
| \(1\) | | \(+1\) | \(-4\) |
| | \(+1\) | \(-4\) | \(2\) |
No és exacta, no és arrel.
|
|
| | \(+1\) | \(-5\) | \(+6\) |
| \(2\) | | \(+2\) | \(-6\) |
| | \(+1\) | \(-3\) | \(0\) |
| \(3\) | | \(+3\) | |
| | \(+1\) | \( 0\) | |
|
|
En aquest cas també
podem visualitzar
l'arrel zero
amb Ruffini
com podeu veure
a la dreta:
|
| | \(+1\) | \(-5\) | \(+6\) | \(0\) |
| \(0\) | | \(0\) | \(0\) | \(0\) |
| | \(+1\) | \(-5\) | \(+6\) | \(0\) |
| \(2\) | | \(+2\) | \(-6\) | |
| | \(+1\) | \(-3\) | \(0\) | |
| \(3\) | | \(+3\) | | |
| | \(+1\) | \( 0\) | | |
|
La lectura del Ruffini de la dreta seria
\(A(x) = +1\cdot(x-3)\cdot(x-2)\cdot(x-0) = x(x-2)(x-3)\)
De totes les maneres:
Totes les arrels son 0, 2 i 3.
La factorització del polinomi \(A(x) = x(x-2)(x-3)\)
|
| 23 |
\(B(x) = 6x^3+7x^2-9x+2\)
Amb Ruffini, el métode és:
usant els divisors del terme independent. Els divisors son \(\{\pm1,\pm2\}\).
Si el polinomi té coeficients positius i negatius comencem amb els divisor positius. Els candidats son \(\{+1,+2\}\).
Usualment si els coeficients no son molt grans es comença pels de menor valor absolut. Els candidats son \(\{+1,+2\}\).
Ara:
| | \(+6\) | \(+7\) | \(-9\) | \(+2\) |
| \(1\) | | \(+6\) | \(+13\) | \(+4\) |
| | \(+6\) | \(+13\) | \(+4\) | \(+6\) |
No és exacta, no és arrel.
|
|
| | \(+6\) | \(+7\) | \(-9\) | \(+2\) |
| \(2\) | | \(+12\) | \(+38\) | \(+58\) |
| | \(+6\) | \(+19\) | \(+29\) | \(+60\) |
No és exacta, no és arrel.
|
Probem amb els divisors negatius:
| | \(+6\) | \(+7\) | \(-9\) | \(+2\) |
| \(-1\) | | \(-6\) | \(-1\) | \(+10\) |
| | \(+6\) | \(+1\) | \(-10\) | \(+12\) |
No és exacta, no és arrel.
|
|
| | \(+6\) | \(+7\) | \(-9\) | \(+2\) |
| \(-2\) | | \(-12\) | \(+10\) | \(-2\) |
| | \(+6\) | \(-5\) | \(+1\) | \(0\) |
Finalment és exacta,
ja tenim una arrel.
|
La lectura de l'últim Ruffini seria \[B(x) = (x-(-2))\cdot(6x^2-5x+1)= (x+2)(6x^2-5x+1)\]
Amb Ruffini, el métode és:
usant els divisors del terme independent. Els divisors son \(\{\pm1\}\).
Si el polinomi té coeficients positius i negatius comencem amb els divisor positius. Els candidats son \(\{+1\}\).
Usualment si els coeficients no son molt grans es comença pels de menor valor absolut. Els candidats son \(\{+1\}\).
fent els Ruffini's cap surt exacte. Podem veure que no té cap més arrel entera:
\[
x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot6\cdot1}}{2\cdot6}=\frac{5\pm\sqrt{25-24}}{12}=\frac{5\pm1}{12}
=\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle\frac{5+1}{12}=\displaystyle\frac{6}{12}=\displaystyle\frac{1}{2}\\
\displaystyle\frac{5-1}{12}=\displaystyle\frac{4}{12}=\displaystyle\frac{1}{3}
\end{array}
\right.
\]
Ara podriem recordar que la factorització d'un trinomi de segon grau es fa sempre
\[ax^2+bx+c=a(x-x_{+})(x-x_{-})\]
on \(x_{+}\) i \(x_{-}\) son les dues solucions de l'equació de segon grau. Recordant això:
\[6x^2-5x+1=6\left(x-\displaystyle\frac{1}{2}\right)\left(x-\displaystyle\frac{1}{3}\right)\]
El 6 ( la \(a\)) és important.
|
Alternativament podriem seguir el Ruffini:
|
|
| | \(+6\) | \(+7\) | \(-9\) | \(+2\) |
| \(-2\) | | \(-12\) | \(+10\) | \(-2\) |
| | \(+6\) | \(-5\) | \(+1\) | \(0\) |
| \(+\displaystyle\frac{1}{2}\) | | \(+3\) | \(-1\) | |
| | \(+6\) | \(-2\) | \(0\) | |
| \(+\displaystyle\frac{1}{3}\) | | \(+2\) | \(-1\) | |
| | \(+6\) | \(0\) | | |
|
La lectura de l'últim Ruffini seria \[C(x) = +6\cdot\left(x-\displaystyle\frac{1}{3}\right)\cdot\left(x-\displaystyle\frac{1}{2}\right)\cdot(x-(-2))
=6(x+2)\left(x-\displaystyle\frac{1}{2}\right)\left(x-\displaystyle\frac{1}{3}\right)\]
Si volem comprendre perque no hi havia fraccions en el polinomi original:
\[C(x) = (x+2)\left(2x-1\right)\left(3x-1\right)\]
Resum de resultats:
Totes les arrels son \(-2\), \(+\displaystyle\frac{1}{2}\) i \(+\displaystyle\frac{1}{3}\).
La factorització del polinomi \(B(x) = 6(x+2)\left(x-\displaystyle\frac{1}{2}\right)\left(x-\displaystyle\frac{1}{3}\right)\)
|
| 23 |
\(C(x) = 2x^3+2 = 2(x^3+1)\)
|
Clarament \(-1\) és una arrel:
|
|
| | \(+1\) | \(0\) | \(0\) | \(+1\) |
| \(-1\) | | \(-1\) | \(+1\) | \(-1\) |
| | \(+1\) | \(-1\) | \(+1\) | \(0\) |
|
Llavors
\[
C(x) = 2x^3+2 = 2(x^3+1)=2(x-(-1))(x^2+x+1)=2(x+1)(x^2+x+1)
\]
En aquest cas el trinomi de segon grau no té solucions reals:
\[
x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot1\cdot1}}{2\cdot1}=\frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}
=\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\\
\displaystyle\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}
\end{array}
\right.
\]
En variable real, només hi ha un arrel real i és \(-1\). La factorització seria
\[
C(x) = 2(x+1)(x^2+x+1)
\]
Si ho extenem a nombres complexos les arrels serien \(-1\), \(\displaystyle\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\) i \(\displaystyle\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\).
La factorització seria
\[
C(x) = 2(x+1)\left(x-\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)\left(x-\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\right)
\]
Resum de resultats en nombre reals:
Totes les arrels reals son \(-1\).
La factorització del polinomi \(C(x) = 2(x+1)(x^2+x+1) \)
|
| 23 |
\(D(x)=x^3+7x^2+6x=x(x^2-7x+6)\)
Com que les arrels son les solucions de l'equació \(D(x) = 0\), la primera arrel és zero.
Les altres dos venen de les solucions de l'equació \(x^2 - 7x + 6=0\)
\[
x=\frac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot1\cdot6}}{2\cdot1}=\frac{7\pm\sqrt{49-24}}{2}=\frac{7\pm5}{2}
=\left\{\begin{array}{l}\displaystyle\frac{7+5}{2}=6\\ \displaystyle\frac{7-5}{2}=1\end{array}\right.
\]
Totes les arrels son 0, 1 i 6. Llavors
\[D(x) = x^3-7x^2+6x = (x-0)\cdot(x-1)\cdot(x-6) = x(x-1)(x-6)\]
Resum de resultats:
Totes les arrels son \(0\), \(1\) i \(6\).
La factorització del polinomi \(Dx) = x(x-1)(x-6) \)
|
| 23 |
\(E(x) = x^3+2x^2+x+2\)
Amb Ruffini, el métode és:
usant els divisors del terme independent. Els divisors son \(\{\pm1,\pm2\}\).
Si el polinomi té coeficients d'un sol signe comencem amb els divisor positius. Els candidats son \(\{-1,-2\}\).
Usualment si els coeficients no son molt grans es comença pels de menor valor absolut. Els candidats son \(\{-1,-2\}\).
Podriem fer el Ruffinis, però també podem utilitzar el Teorema del Residu:
\[
\begin{array}{rl}
E(-1)&= (-1)^3+2(-1)^2+(-1)+2=-1+2-1+2=2\\
E(-2)&= (-2)^3+2(-2)^2+(-2)+2=-8+8-2+2=0
\end{array}
\]
Per tant, \(x=-2\) és una arrel.
| | \(+1\) | \(+2\) | \(+1\) | \(+2\) |
| \(-2\) | | \(-2\) | \(0\) | \(-2\) |
| | \(+1\) | \(0\) | \(+1\) | \(0\) |
Llavors
\[E(x) = x^3+2x^2+x+2 = (x-(-2))(x^2+0\cdot1+1) = (x+2)(x^2+1)\]
Si estenem els nostres resultats a nombres complexos:
\(x^2+1=0\) \(x^2=-1\) \(x=\pm\sqrt{-1}=\pm i\)
Les arrels en nombres complexos: \(-2\), \(+i\), \(-i\).
La factorització del polinomi en nombres complexos: \(E(x) = (x+2)(x-i)(x+i) \)
Resum de resultats en nombre reals:
Totes les arrels reals son \(-2\).
La factorització del polinomi \(E(x) = (x+2)(x^2+1) \)
|
| 23 |
\(F(x) = x^4+x^2-2\)
Com que les arrels son les solucions de l'equació \(F(x) = 0\), clarament \(+1\) i \(-1\) son arrels.
\[
\begin{array}{rl}
F(+1)&= (+1)^4+(+1)^2-2=1+1-2=0\\
F(-1)&= (-1)^4+(-1)^2-2=1+1-2=0
\end{array}
\]
Així
| | \(+1\) | \(0\) | \(+1\) | \(0\) | \(-2\) |
| \(+1\) | | \(+1\) | \(+1\) | \(+2\) | \(+2\) |
| | \(+1\) | \(+1\) | \(+2\) | \(+2\) | \(0\) |
| \(-1\) | | \(-1\) | \(0\) | \(-2\) | |
| | \(+1\) | \(0\) | \(+2\) | \(0\) | |
Llegint el Ruffini
\[F(x) = x^4+x^2-2 = (x-(+1))(x-(-1))(x^2+2) = (x-1)(x+1)(x^2+2)\]
Si estenem els nostres resultats a nombres complexos:
\(x^2+2=0\) \(x^2=-2\) \(x=\pm\sqrt{2}\sqrt{-1}=\pm\sqrt{2}i\)
Les arrels en nombres complexos: \(+1\), \(-1\), \(+\sqrt{2}i\), \(-\sqrt{2}i\).
La factorització del polinomi en nombres complexos: \(F(x) = (x+2)(x-i)\left(x-\sqrt{2}i\right)\left(x+\sqrt{2}i\right) \)
Resum de resultats en nombre reals:
Totes les arrels reals son \(+1\) i \(-1\).
La factorització del polinomi \(F(x) = (x-1)(x+1)(x^2+2) \)
|
| 24 |
Esbrina si \(x=3\) és una arrel del polinomi \(P(x)=x^3-2x^2-9\).
|
| 24 |
\(x=3\) és una arrel del polinomi \(P(x)=x^3-2x^2-9\).
\[P(3)=3^3-2\cdot3^2-9=27-2\cdot9-8=27-18-9=0\]
|
| 25 |
Determina les arrels del polinomi: \(A(x)=(x^2-9)(2x-1)\).
|
| 25 |
\[
A(x)=0 \rightarrow \left\{
\begin{array}{lcl}
x^2-9=0 & \rightarrow & x=\pm3 \\
2x-1=0 & \rightarrow & x=\displaystyle\frac{1}{2}
\end{array}
\right.
\]
Les arrels son \(+3\), \(-3\) i \(\displaystyle\frac{1}{2}\).
La factorització del polinomi \(A(x) = 2(x-3)(x+3)\left(x-\displaystyle\frac{1}{2}\right) \)
|
| 26 |
Calcula les arrels del: \(P(x)=(x^2-4)(3x+1)\).
|
| 26 |
\[
P(x)=0 \rightarrow \left\{
\begin{array}{lcl}
x^2-4=0 & \rightarrow & x=\pm2 \\
3x+1=0 & \rightarrow & x=-\displaystyle\frac{1}{3}
\end{array}
\right.
\]
Les arrels son \(+2\), \(-2\) i \(-\displaystyle\frac{1}{3}\).
La factorització del polinomi \(P(x) = 3(x-2)(x+2)\left(x+\displaystyle\frac{1}{3}\right) \)
|
| 27 |
El polinomi \(B(x)=(x^2+4)(x-1)\) només té una arrel real. Per què?
|
| 27 |
\[
B(x)=0 \rightarrow \left\{
\begin{array}{lcl}
x^2+4=0 & \rightarrow & x=\pm\sqrt{-4}=\pm\sqrt{4}\sqrt{-1}=\pm2i \\
x-1=0 & \rightarrow & x=1
\end{array}
\right.
\]
L'arrel real és \(+1\). Les altres son complexes.
Les arrels complexes \(+1\), \(+2i\), \(-2i\).
|