| pàg. 48 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 28 | Factoritza el polinomi \(P(x)=x^3-x^2-8x+12\). Troba una arrel entera entre els divisors del terme independent. Determina totes les seves arrels. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 28 |
Hem d'utilitzar Ruffini, el métode per trobar una solució entera (si es que en té) és:
La factorització del polinomi \(P(x) = (x-2)^2(x+3) \) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 29 |
Factoritza aquests polinomis:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 29 | a) \(x^4 -1\) Només utilitzant productes notables \[x^4 -1 = (x^2)^2 -1^2 = (x^2+1)(x^2-1) = (x^2+1)(x+1)(x-1)\] |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 29 | b) \(x^5 + x^4 -x -1\) Podem utilitzar el resultat anterior. Treient factor comú: \[ \begin{array}{rl} x^5 + x^4 -x -1 &= x^4(x+1)-(x+1)\\ &=(x^4-1)(x+1)\\ &=(x^2+1)(x+1)(x-1)(x+1)\\ &=(x-1)(x+1)^2(x^2+1) \end{array} \] També podem utilitzar Ruffini. A simple vista es veu que \(+1\) i \(-1\) fan zero el polinomi i son arrels: \[1^5 + 1^4 -1 -1 = 1+1-1-1 = 0\] \[(-1)^5 + (-1)^4 -(-1) -1 = -1+1+1-1 = 0\]
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 29 | c) \(x^4+4x^3+4x^2\) Treient factor comú \[x^4+4x^3+4x^2=x^2\left(x^2+4x+4\right)\] Només utilitzant productes notables \[x^4+4x^3+4x^2=x^2\left(x^2+4x+4\right)=x^2\left(x^2+2\cdot2\cdot x+2^2\right)=x^2\left(x+2\right)^2\] \[x^4+4x^3+4x^2=x^2\left(x+2\right)^2\] |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 29 | d) \(9x^2+30x+25\) Només utilitzant productes notables \[9x^2+30x+25=(3x)^2+2\cdot3x\cdot5+5^2=(3x+5)^2\] \[9x^2+30x+25=(3x+5)^2\] |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 29 | e) \(\displaystyle\frac{x^2}{9}-9\) Només utilitzant productes notables \[\displaystyle\frac{x^2}{9}-9 = \displaystyle\frac{x^2}{3^2}-3^2 = \left(\displaystyle\frac{x}{3}\right)^2-3^2 = \left(\displaystyle\frac{x}{3}+3\right) \left(\displaystyle\frac{x}{3}-3\right) = \displaystyle\frac{1}{9}\left(x+9\right) \left(x-9\right) \] \[\displaystyle\frac{x^2}{9}-9 = \left(\displaystyle\frac{x}{3}+3\right) \left(\displaystyle\frac{x}{3}-3\right) \] |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 29 | f) \(x^4-3x^3-3x^2+11x-6\) Hem de probar Ruffini o Teorema del Residu per \(+1\) i \(+3\) que sembla que fan zero el polinomi.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 30 | Troba les arrels d’aquests polinomis mitjançant la seva factorització:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 30 | a) \(x^3+3x^2-13x-15\) Hem de probar Ruffini o Teorema del Residu per \(-1\) i \(+3\) que sembla que fan zero el polinomi.
Les arrels son \(-1\), \(3\) i \(-5\). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 30 | b) \(2x^4 + 6x^3 - 8x\) \[2x^4 + 6x^3 - 8x=2x(x^3+3x^2-4)\] Hem de probar Ruffini o Teorema del Residu per \(+1\) i \(-2\) que sembla que fan zero el polinomi.
Les arrels son \(+1\), \(-2\) i \(-2\). També es diu que \(-2\) és una arrel doble. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 30 | c) \(3x^2+3x+\displaystyle\frac{3}{4}\) \[3x^2+3x+\displaystyle\frac{3}{4} = 3\left(x^2+x+\displaystyle\frac{1}{4}\right) = 3\left(x^2+2x\displaystyle\frac{1}{2}+\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2\right) = 3\left(x+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2\] La factorització del polinomi és \(3x^2+3x+\displaystyle\frac{3}{4} = 3\left(x+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2\) Les arrels son \(-\displaystyle\frac{1}{2}\) i \(-\displaystyle\frac{1}{2}\). També es diu que \(-\displaystyle\frac{1}{2}\) és una arrel doble. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 30 | d) \(x^3+3x^2-4x\) Només treient factor comú i utilitzant l'equació de segon grau \[x^3+3x^2-4x = x\left(x^2+3x-4\right)=x(x-1)(x+4)\] La factorització del polinomi és \(x^3+3x^2-4x = x(x-1)(x+4)\) Les arrels son \(0\), \(1\) i \(-4\). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 30 | e) \(x^4+x^3-2x^2\) Només treient factor comú i utilitzant l'equació de segon grau \[x^4+x^3-2x^2 = x^2\left(x^2+x-2\right)=x(x-1)(x+2)\] La factorització del polinomi és \(x^4+x^3-2x^2 =x(x-1)(x+2)\) Les arrels son \(0\), \(0\), \(1\) i \(-2\). Com abans es diu que \(0\) és una arrel doble. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 30 | f) \(x^4-3x^3-3x^2+11x-6\)
És exacte que el darrer apartat del problema anterior (#29 f)) La factorització del polinomi és \(x^4-3x^3-3x^2+11x-6=(x-1)^2(x+2)(x-3)\) Les arrels son \(1\), \(1\), \(-2\) i \(+3\). Com abans es diu que \(1\) és una arrel doble. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 31 | Les arrels d’un polinomi de segon grau són \(2\) i \(-\displaystyle\frac{1}{3}\) i el coeficient de \(x^2\) és 6. Quin és aquest polinomi? | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 31 | El polinomi de segon grau és
\(6(x-2)\left(x+\displaystyle\frac{1}{3}\right) = (x-2)(6x+2) = 6x^2 -10x -4\)
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
MathJax.version: