ÍNDEX 01 El concepte de funció 02 Domini i recorregut 03 Funcions algèbriques 04 Operacions amb funcions 05 Funció composta 06 Funció inversa Tasca a presentar
03 Funcions algèbriques

El resum de teoría és acumulatiu entre aquest apartat i l'anterior, la part nova del resum comença ací.

El domini i el recorregut son intervals (o semirrectes).

El domini son els punts de l'eix \(x\) (variable independent, abscissa) on es pot calcular la funció.

El recorregut son els punts de l'eix \(y\) (variable dependent, ordenada) que dona per resultat l'aplicació de la funció.

Podeu anar al tema 1 (pàg. 25) on s'expliquen els intervals. Us faig una taula:

ABAST NOM NOTACIÓ
ESPECÍFICA 		INEQUACIÓ CONJUNT
Finit Interval obert \((a,b)\) \(a\lt x \lt b\) \(\{x\in\mathbb{R}\mid a\lt x \lt b\}\)
Interval tancat \([a,b]\) \(a\le x \le b\) \(\{x\in\mathbb{R}\mid a\le x \le b\}\)
Interval semiobert \((a,b]\) \(a\lt x \le b\) \(\{x\in\mathbb{R}\mid a\lt x \le b\}\)
\([a,b)\) \(a\le x \lt b\) \(\{x\in\mathbb{R}\mid a\le x \lt b\}\)
Infinit Semirecta oberta \((-\infty,a)\)
 \(x \lt a\) \(\{x\in\mathbb{R}\mid x \lt a\}\)
\((a,+\infty)\)
 \(x \gt a\) \(\{x\in\mathbb{R}\mid x \gt a\}\)
Semirecta tancada \((-\infty,a]\)
 \(x \le a\) \(\{x\in\mathbb{R}\mid x \le a\}\)
\([a,+\infty)\)
 \(x \ge a\) \(\{x\in\mathbb{R}\mid x \ge a\}\)

Podeu veure les representacions gràfiques al llibre. Noteu que:

  • En els infinits sempre hi ha frontera oberta (son inabastables). Un paréntesis rodó.
  • El primer argument de la notació específica de l'interval sempre és més petit que el segon. És perqué ho llegim sobre la recta real que sempre l'hem descrita des de més negatius a més positius (d'esquerra a dreta).
  • Una inequalitat ben posada sempre porta a una semirrecta infinita. Dues inequalitats ben posades donen lloc a un interval finit.
  • Noteu que \(a\lt x \le b\) és el mateix que \(b\ge x \gt a\). Però es prefereix el primer perqué és com ho llegim directament a la recta real i està més proper a la notació específica de l'interval.
  • Sempre que hi ha uns claudators \(\{...\}\) vol dir un conjunt. Recordeu, per exemple \(\mathbb{N}=\{1, 2, 3, 4, 5,...\}\).
  • El simbol \(\in\) vol dir 'pertany' (formar part de...) llavors \(x\in\mathbb{R}\) vol dir 'x pertany als nombres reals' o 'x és qualsevol nombre real'.
  • El simbol \(\mid\) vol dir 'tal que' (és una barra vertical) que implica que cal satisfer alguna condició.

    • Tenim bàsicament tres tipus de control de domini (i les seves combinacions)

    \(f(x)=P(x)\) on \(P(x)\) és un polinomi \(D_f=\mathbb{R}\)
    \(f(x)=\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)}\) on \(P(x)\) i \(Q(x)\) son polinomis
    i la fracció algebraica és irreductible    		 \(D_f=\left\{x\in\mathbb{R}\mid Q(x)\neq0 \right\}\)
    \(f(x)=\sqrt{P(x)}\) on \(P(x)\) és una certa expressió \(D_f=\left\{x\in\mathbb{R}\mid P(x)\geq0 \right\}\)

    Pel cas de radicals el domini depen de la paritat de l'índex (si és parell o senar)

    \(f(x)=\sqrt[n]{P(x)}\) on \(P(x)\) és una certa expressió i \(n\) és parell \(D_f=\left\{x\in\mathbb{R}\mid P(x)\geq0 \right\}\)
    \(f(x)=\sqrt[n]{P(x)}\) on \(P(x)\) és una certa expressió i \(n\) és senar \(D_f=\mathbb{R}\)


    pàg. 181
    5 Esbrina el domini de les funcions següents:
    a) \(f(x) = \displaystyle\frac{x+1}{x^2-6x+5}\) b) \(g(x) = \sqrt{4+3x}\) c) \(h(x) = \displaystyle\frac{7x+8}{x^2+5}\)
    d) \(k(x) = \sqrt[3]{\displaystyle\frac{3}{4}x+5}\) e) \(p(x) = -\displaystyle\frac{2}{3}x^2-5x+2\) f) \(t(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle\frac{x^2+4}{x} & x\leq2\\ \displaystyle\frac{2x}{x-3} & x>2 \end{array} \right.\)
    5 a) \(f(x) = \displaystyle\frac{x+1}{x^2-6x+5}\)

    \[D_f=\left\{x\in\mathbb{R}\mid x^2-6x+5\neq0\right\}=\left\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq1 \land x\neq5 \right\}\] Degut a que l'equació \(x^2-6x+5=0\) dona per solucions \(x=1\) , \(x=5\). L'operador lògic '\(\land\)' vol dir que cal que es satisfagin les dues condicions. L'operador lògic '\(\lor\)' vol dir que n'hi ha prou en que es satisfagi una de les dues condicions.

    Excloure aquests dos punts és equivalent a tenir dues semirectes i un interval entre elles: \[D_f=\left\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq1 \land x\neq5 \right\}=(-\infty,1)\cup(1, 5)\cup(5,+\infty)\]

    5 b) \(g(x) = \sqrt{4+3x}\)

    En les arrels de índex parell l'argument ha de ser positiu: \[D_g=\left\{x\in\mathbb{R}\mid 4+3x\geq0\right\}=\left\{x\in\mathbb{R}\mid x\geq-\displaystyle\frac{4}{3} \right\}\] Amb una única inequalitat ens dona un semirecta tancada: \[D_g=\left\{x\in\mathbb{R}\mid x\geq-\displaystyle\frac{4}{3} \right\}=\left[-\displaystyle\frac{4}{3},+\infty\right)\]

    5 c) \(h(x) = \displaystyle\frac{7x+8}{x^2+5}\)

    \[D_h=\left\{x\in\mathbb{R}\mid x^2+5\neq0 \right\}=\mathbb{R}\] Com que el denominador o es farà mai zero per variable real, no dona cap resctricció: \[D_h=\mathbb{R}\]

    5 d) \(k(x) = \sqrt[3]{\displaystyle\frac{3}{4}x+5}\)

    Com que l'índex de l'arrel és senar (imparell) no dona cap restricció \[D_k=\mathbb{R}\]

    5 e) \(p(x) = -\displaystyle\frac{2}{3}x^2-5x+2\)

    Un polinomi es pot calcular en qualsevol punt, per tant no dona cap restricció \[D_p=\mathbb{R}\]

    5 f) \(t(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle\frac{x^2+4}{x} & x\leq2\\ \displaystyle\frac{2x}{x-3} & x>2 \end{array} \right.\)

    És una funció a trossos:

  • Per la branca \(x\leq2\) la fracció algebraica té un problema a \(x=0\), com que esta inclós en la branca l'hem de considerar.
  • Per la branca \(x>2\) la fracció algebraica té un problema a \(x=3\), com que esta inclós en la branca també l'hem de considerar.
    • Per tant \[D_t=\left\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq0 \land x\neq3 \right\}=\mathbb{R}-\{0, 3\}=(-\infty,0)\cup(0, 3)\cup(3,+\infty)\]












    MathJax.version: