ÍNDEX 01 El concepte de funció 02 Domini i recorregut 03 Funcions algèbriques 04 Operacions amb funcions 05 Funció composta 06 Funció inversa Tasca a presentar
02 Domini i recorregut

El domini i el recorregut son intervals (o semirrectes).

El domini son els punts de l'eix \(x\) (variable independent, abscissa) on es pot calcular la funció.

El recorregut son els punts de l'eix \(y\) (variable dependent, ordenada) que dona per resultat l'aplicació de la funció.

Podeu anar al tema 1 (pàg. 25) on s'expliquen els intervals. Us faig una taula:

ABAST NOM NOTACIÓ
ESPECÍFICA 		INEQUACIÓ CONJUNT
Finit Interval obert \((a,b)\) \(a\lt x \lt b\) \(\{x\in\mathbb{R}\mid a\lt x \lt b\}\)
Interval tancat \([a,b]\) \(a\le x \le b\) \(\{x\in\mathbb{R}\mid a\le x \le b\}\)
Interval semiobert \((a,b]\) \(a\lt x \le b\) \(\{x\in\mathbb{R}\mid a\lt x \le b\}\)
\([a,b)\) \(a\le x \lt b\) \(\{x\in\mathbb{R}\mid a\le x \lt b\}\)
Infinit Semirecta oberta \((-\infty,a)\)
 \(x \lt a\) \(\{x\in\mathbb{R}\mid x \lt a\}\)
\((a,+\infty)\)
 \(x \gt a\) \(\{x\in\mathbb{R}\mid x \gt a\}\)
Semirecta tancada \((-\infty,a]\)
 \(x \le a\) \(\{x\in\mathbb{R}\mid x \le a\}\)
\([a,+\infty)\)
 \(x \ge a\) \(\{x\in\mathbb{R}\mid x \ge a\}\)

Podeu veure les representacions gràfiques al llibre. Noteu que:

  • En els infinits sempre hi ha frontera oberta (son inabastables). Un paréntesis rodó.
  • El primer argument de la notació específica de l'interval sempre és més petit que el segon. És perqué ho llegim sobre la recta real que sempre l'hem descrita des de més negatius a més positius (d'esquerra a dreta).
  • Una inequalitat ben posada sempre porta a una semirrecta infinita. Dues inequalitats ben posades donen lloc a un interval finit.
  • Noteu que \(a\lt x \le b\) és el mateix que \(b\ge x \gt a\). Però es prefereix el primer perqué és com ho llegim directament a la recta real i està més proper a la notació específica de l'interval.
  • Sempre que hi ha uns claudators \(\{...\}\) vol dir un conjunt. Recordeu, per exemple \(\mathbb{N}=\{1, 2, 3, 4, 5,...\}\).
  • El simbol \(\in\) vol dir 'pertany' (formar part de...) llavors \(x\in\mathbb{R}\) vol dir 'x pertany als nombres reals' o 'x és qualsevol nombre real'.
  • El simbol \(\mid\) vol dir 'tal que' (és una barra vertical) que implica que cal satisfer alguna condició.



    • pàg. 178
    3 Escriu l’expressió algèbrica i troba el domini de les funcions següents:
    a)A cada valor del radi d’una esfera li assignem la seva superfície.
    b)La diagonal d’un quadrat depèn de la longitud del costat.
    c)Al radi d’una circumferència li assignem l’àrea de l’hexàgon regular inscrit.
    d)La longitud de l’aresta d’un cub és funció del volum.
    3 a) A cada valor del radi (\(r\)) d’una esfera li assignem la seva superfície (\(S\)):
    \[S(r)=4\pi\cdot r^2\] també podriem canviar a lletres standard: \[f(x)=4\pi\cdot x^2\]
    3 b) La diagonal d’un quadrat depèn de la longitud del costat:
    \[d^2=c^2+c^2=2c^2\] \[d=\sqrt{2c^2}=\sqrt{2}\sqrt{c^2}=\sqrt{2}c\] \[d(c)=\sqrt{2}\cdot c\] amb lletres standard: \[f(x)=\sqrt{2}\cdot x\]
    3 c) Al radi d’una circumferència li assignem l’àrea de l’hexàgon regular inscrit:
    En l’hexàgon regular inscrit totes les distàncies son iguals al radi, llavors: \[A_{HEXAGON}=6\cdot A_{TRIANGLE}=6\cdot\frac{r\cdot h}{2}=3\cdot r\cdot h\] Del triangle equilàter utilitzant Pitàgores: \[h^2=r^2-\left(\frac{r}{2}\right)^2=r^2-\frac{r^2}{4}=\frac{3}{4}r^2\] \[h=\sqrt{\frac{3}{4}r^2}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}\sqrt{r^2} =\frac{\sqrt{3}}{2}r\] \[A(r)=3\cdot r\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}r=\frac{3\sqrt{3}}{2}r^2\] Podem presentar-ho així \[A(r)=\frac{3\sqrt{3}}{2}r^2\] o també \[f(x)=\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2\]
    3 d) La longitud de l’aresta d’un cub és funció del volum.
    En un cub totes les arestes (\(a\)) son iguals i el volum és: \(V_{CUB}=a^3\)
    Aïllant l'arrel cúbica: \(a=\sqrt[3]{V_{CUB}}\)
    Podem presentar-ho així \[a(V)=\sqrt[3]{V}\] o també \[f(x)=\sqrt[3]{x}\]



    4

    Determina el domini de les funcions:

    \(f(x)=3x-7\)        \(g(x)=2x^2-7x+11\)        \(h(x)=\displaystyle\frac{1}{x+1}\)
    4 Qualsevol polinomi té com domini tots els nombres reals: perque es pot calcular sense cap restricció. Una recta és un polinomi (de fet binomi) de primer grau.

    \(D_f=\mathbb{R}\)            \(D_g=\mathbb{R}\)

    Per la funció \(g(x)\) l'unic punt problematic és on s'annula el denominador (dona lloc a infinits que no es poden quantitzar). \[D_h=\{x\in\mathbb{R} \mid x+1\neq 0\} = \mathbb{R} -\{-1\} = (-\infty,-1)\cup(-1,+\infty)\]

    Tots aquest expressions iguals, idèntiques. Representen el mateix interval:

    \(\{x\in\mathbb{R} \mid x+1\neq 0\}\)              Expliquem cada part:
  • Sempre que hi ha uns claudators \(\{...\}\) vol dir un conjunt.
  • El simbol \(\in\) vol dir 'pertany' (formar part de...) llavors \(x\in\mathbb{R}\) vol dir 'x pertany als nombres reals' o 'x és qualsevol nombre real'.
  • El simbol \(\mid\) vol dir 'tal que' (és una barra vertical) que implica que cal satisfer alguna condició.
  • La condició és \(x+1\neq 0\). El denominador no pot ser zero. Per tant \(x\neq-1\)
    		•
    \(\mathbb{R} -\{-1\}\)             
    Vol dir que el conjunt de tots els nombres reals \(\mathbb{R}\) menys \(\{-1\}\) (el conjunt que només conté en el punt \(-1\)).
    \((-\infty,-1)\cup(-1,+\infty)\)              Vol dir el conjunt unió (el símbol \(\cup\)) de dues semirectes obertes (exclouen el punt\(-1\)):
  • \((-\infty,-1)\) tots els nombre reals que van des de \(-\infty\) fins \(-1\) sense incloure les fonteres.
  • \((-1,+\infty)\) tots els nombre reals que van des de \(-1\) fins \(+\infty\) sense incloure les fonteres.
    		•











    MathJax.version: