Cal recordar un xic la teoria.
Una funció periòdica \(f(x)\) que repeteix el esquema de l'interval \([-\pi,+\pi]\) és pot
desenvolupar en funcions periòdiques d'aquest mateix interval:
\[f(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cdot\cos(n\cdot x)+b_n\cdot\sin(n\cdot x)\right)\]
on
\[
\begin{align}
a_0&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx\\
a_n&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cos(n\cdot x) dx \hbox{ per }n> 0\\
b_n&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sin(n\cdot x) dx \hbox{ per }n> 0
\end{align}
\]
Sèrie de Fourier de la funció esglaonada
Aquesta funció la podem descriure senzillament per
\[
f(x)=\left\{
\begin{align}
-1&\hbox{ per }-\pi\le x<0\\
+1&\hbox{ per }0\le x<\pi
\end{align}
\right.
\]
És fàcil demostrar que
\[ f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{(2n-1)\pi}sin((2n-1)\cdot x) \]