Sèries de Fourier

Definició

Una funció periòdica \(f(x)\) que repeteix el esquema de l'interval \([-\pi,+\pi]\) és pot desenvolupar en funcions periòdiques d'aquest mateix interval:

\[f(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cdot\cos(n\cdot x)+b_n\cdot\sin(n\cdot x)\right)\]

on

\[ \begin{align} a_0&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx&\\ a_n&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(n\cdot x) dx &\hbox{ per }n>0\\ b_n&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(n\cdot x) dx &\hbox{ per }n>0 \end{align} \]

Sèrie de Fourier especials

Sèrie de Fourier de la funció esglaonada Demostració
\[ f(x)=\left\{ \begin{align} -1&\;\;\;-\pi\le x<0\\ +1&\;\;\;0\le x<\pi \end{align} \right. \] \[ f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{(2n-1)\pi}\sin((2n-1)\cdot x) \]
\[ f(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin((2n-1)\cdot x)}{2n-1} \]
\[\frac{4}{\pi}\left(\frac{\sin(x)}{1} + \frac{\sin(3x)}{3} + \frac{\sin(5x)}{5} + ...\right)\]

Sèrie de Fourier de la funció serrada Demostració
\[ f(x)=\left|x\right| = \left\{ \begin{align} -x&\;\;\;-\pi\le x<0\\ x&\;\;\;0\le x<\pi \end{align} \right. \] \[ f(x)=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos((2n-1)\cdot x)}{(2n-1)^2} \]
\[ f(x)=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos((2n-1)\cdot x)}{(2n-1)^2} \]
\[\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\left(\frac{\cos(x)}{1^2} + \frac{\cos(3x)}{3^2} + \frac{\cos(5x)}{5^2} + ...\right)\]

Sèrie de Fourier de la funció esbiaixada Demostració
\[ f(x)= x \hbox{ per } -\pi \le x < \pi \] \[ f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n}(-1)^{n+1}\sin(n\cdot x) \]
\[ f(x)=2\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{\sin(n\cdot x)}{n} \]
\[2\left(\frac{\sin(x)}{1} - \frac{\sin(3x)}{3} + \frac{\sin(5x)}{5} - ...\right)\]

Implementació

En cada cas s'ha evitat petits problemes de precissió començant a sumar pels termes més petits:
    var fun = 0;
    for ( n = ordre ; n >= 1 ; n-- ){
      fun = fun + Math.sin((2*n-1)*x)/(2*n-1) ;
    }
    return 4*fun/Math.PI;

Next...

\[ f(x)=x\cdot(\pi-x)\cdot(\pi+x) = x\cdot(\pi^2 - x^2) = x\cdot\pi^2 - x^3\] \[ f'(x)=\pi^2 - 3\cdot x^2\] Si \(f'(x)=0\) llavors \( x=\pm\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt{3}} \) \[ f\left(\pm\frac{\pi}{\sqrt{3}}\right)=\pm\frac{\pi^3}{\sqrt{3}}\cdot\left( 1 -\frac{1}{3}\right) =\pm\frac{2\pi^3}{3\sqrt{3}} =\pm11.834321... \simeq\pm12\] També \[ f(-\pi^-) = f(-\pi^+) = f(+\pi^-) = f(+\pi^+) = 0 \] \[ f'(-\pi^-) = f'(-\pi^+) = f'(+\pi^-) = f'(+\pi^+) = -2\pi^2 \]