Definició
Una funció periòdica \(f(x)\) que repeteix el esquema de l'interval \([-\pi,+\pi]\) és pot
desenvolupar en funcions periòdiques d'aquest mateix interval:
\[f(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cdot\cos(n\cdot x)+b_n\cdot\sin(n\cdot x)\right)\]
on
\[
\begin{align}
a_0&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx&\\
a_n&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(n\cdot x) dx &\hbox{ per }n>0\\
b_n&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(n\cdot x) dx &\hbox{ per }n>0
\end{align}
\]
Sèrie de Fourier especials
\[
\begin{align}
a_n&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(n\cdot x) dx\\
&=\frac{1}{\pi}\left[\int^{\pi}_{0}f(x)\cos(n\cdot x) dx+\int_{-\pi}^{0}f(x)\cos(n\cdot x) dx\right]\\
&=\frac{1}{\pi}\left[\int^{\pi}_{0}\cos(n\cdot x) dx-\int_{-\pi}^{0}\cos(n\cdot x) dx\right]\\
&=\frac{1}{\pi n}\left[\left.\sin(n\cdot x)\right|^{\pi}_{0}-\left.\sin(n\cdot x)\right|^{0}_{-\pi}\right]\\
&=\frac{1}{\pi n}\left[\sin(n\cdot \pi)-\sin(n\cdot \pi)\right]\\
&=0\\
&\\
b_n&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(n\cdot x) dx\\
&=\frac{1}{\pi}\left[\int^{\pi}_{0}f(x)\sin(n\cdot x)+\int_{-\pi}^{0}f(x)\sin(n\cdot x)\right] dx\\
&=\frac{1}{\pi}\left[\int^{\pi}_{0}\sin(n\cdot x)-\int_{-\pi}^{0}\sin(n\cdot x)\right] dx\\
&=-\frac{1}{\pi n}\left[\left.\cos(n\cdot x)\right|^{\pi}_{0}-\left.\cos(n\cdot x)\right|^{0}_{-\pi}\right]\\
&=-\frac{1}{\pi n}\left[\cos(n\cdot \pi)-1-(1-\cos(n\cdot \pi))\right]\\
&=-\frac{2}{\pi n}\left[\cos(n\cdot \pi)-1)\right]\\
&=\frac{2}{\pi n}\left[1-\cos(n\cdot \pi))\right]
\end{align}
\]
\[
a_n=0\\
b_n=\left\{
\begin{align}
0 & \hbox{ per }n\hbox{ parell}\\
\frac{4}{\pi n} & \hbox{ per }n\hbox{ senar}
\end{align}
\right.
\]
\[
\begin{align}
a_n&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(n\cdot x) dx\\
&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\cdot\cos(n\cdot x) dx\\
&=\frac{1}{\pi n}\left.\left[x\cdot\sin(n\cdot x) + \sin(n\cdot x)\right]\right|_{-\pi}^{\pi}\\
&=\frac{1}{\pi n}\left[\pi\cdot\sin(n \pi) + \sin(n \pi)-\pi\cdot \sin(n \pi) + \sin(n \pi) \right]\\
&=0\\
&\\
b_n&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(n\cdot x) dx\\
&=\frac{1}{\pi n}\left[(1 - x)\cos(n\cdot x)\right]|_{-\pi}^{\pi}\\
&=\frac{1}{\pi n}\left[(1 - \pi)\cos(n\cdot \pi)-(1 + \pi)\cos(n\cdot \pi)\right]\\
&=\frac{1}{\pi n}\left[(1 - \pi -1 - \pi)\cos(n\cdot \pi)\right]\\
&=-\frac{2}{n}\cos(n\cdot \pi)\\
&=\frac{2}{n}\frac{1+(-1)^{n+1}}{2}\\
\end{align}
\]
Implementació
En cada cas s'ha evitat petits problemes de precissió començant a sumar pels termes més petits:
var fun = 0;
for ( n = ordre ; n >= 1 ; n-- ){
fun = fun + Math.sin((2*n-1)*x)/(2*n-1) ;
}
return 4*fun/Math.PI;
Next...
\[ f(x)=x\cdot(\pi-x)\cdot(\pi+x) = x\cdot(\pi^2 - x^2) = x\cdot\pi^2 - x^3\]
\[ f'(x)=\pi^2 - 3\cdot x^2\]
Si \(f'(x)=0\) llavors \( x=\pm\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt{3}} \)
\[ f\left(\pm\frac{\pi}{\sqrt{3}}\right)=\pm\frac{\pi^3}{\sqrt{3}}\cdot\left( 1 -\frac{1}{3}\right)
=\pm\frac{2\pi^3}{3\sqrt{3}}
=\pm11.834321...
\simeq\pm12\]
També
\[ f(-\pi^-) = f(-\pi^+) = f(+\pi^-) = f(+\pi^+) = 0 \]
\[ f'(-\pi^-) = f'(-\pi^+) = f'(+\pi^-) = f'(+\pi^+) = -2\pi^2 \]