| Apunts de Matemàtiques |
|
\[
I_5 = \displaystyle\int_{0}^1
\left(\sqrt{\dfrac{1}{4x^2}+\dfrac{1}{x}-x} - \sqrt{\dfrac{x^4}{4}-x+1}-\dfrac{1}{2x}\right) dx
\]
Aquest és un problema que usa de la integració de la funció inversa. Si definim
\[
y = f(x)= \sqrt{\dfrac{1}{4x^2}+\dfrac{1}{x}-x} - \dfrac{1}{2x}
\]
\[
y + \dfrac{1}{2x}= \sqrt{\dfrac{1}{4x^2}+\dfrac{1}{x}-x}
\]
\[
\left(y + \dfrac{1}{2x}\right)^2= \dfrac{1}{4x^2}+\dfrac{1}{x}-x
\]
\[
y^2 + \dfrac{y}{x} +\dfrac{1}{4x^2}= \dfrac{1}{4x^2}+\dfrac{1}{x}-x
\]
\[
y^2 + \dfrac{y}{x} = \dfrac{1}{x}-x
\]
\[
xy^2 + y = 1-x^2
\]
\[
x^2 +y^2x + y-1 = 0
\]
\[
x = f^{-1}(y) = \dfrac{-y^2\pm\sqrt{(y^2)^2-4\cdot1\cdot(y-1)}}{2\cdot1}
= \dfrac{-y^2}{2}\pm\dfrac{\sqrt{y^4-4y+4}}{2}
= \dfrac{-y^2}{2}\pm\sqrt{\dfrac{y^4}{4}-y+1}
\]
Com que la regió d'integració que estem utilitzant és positiva només pot ésser
\[
x = \dfrac{-y^2}{2}+\sqrt{\dfrac{y^4}{4}-y+1}
\]
Ara cal aplicar que
\[
\displaystyle\int_a^b f(x)dx + \displaystyle\int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(y)dy = bf(b) - af(a)
\]
En el nostre cas
\[
\displaystyle\int_0^1 f(x)dx + \displaystyle\int_{f(0)}^{f(1)} f^{-1}(y)dy = 1\cdot f(1) - 0\cdot f(0)
\]
els valors dels extrems de integració esdevenen molt importants
\[
f(1)= \lim_{x\rightarrow1}\sqrt{\dfrac{1}{4x^2}+\dfrac{1}{x}-x} - \dfrac{1}{2x}
=\sqrt{\dfrac{1}{4}+1-1} - \dfrac{1}{2}
=\sqrt{\dfrac{1}{4}} - \dfrac{1}{2}
=\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = 0
\]
\[
\begin{array}{rl}
f(0)= \displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\sqrt{\dfrac{1}{4x^2}+\dfrac{1}{x}-x} - \dfrac{1}{2x}
&= \displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\left(\sqrt{\dfrac{1}{4x^2}+\dfrac{1}{x}-x} - \dfrac{1}{2x}\right)
\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{4x^2}+\dfrac{1}{x}-x} + \dfrac{1}{2x}}{\sqrt{\dfrac{1}{4x^2}+\dfrac{1}{x}-x} + \dfrac{1}{2x}}\\
&= \displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{1}{4x^2}+\dfrac{1}{x}-x - \dfrac{1}{4x^2}}{\sqrt{\dfrac{1}{4x^2}+\dfrac{1}{x}-x} + \dfrac{1}{2x}}\\
&= \displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{1}{x}-x }{\sqrt{\dfrac{1}{4x^2}+\dfrac{1}{x}-x} + \dfrac{1}{2x}}\\
&= \displaystyle\lim_{x\rightarrow0}\dfrac{ 1-x^2 }{\sqrt{\dfrac{1}{4}+x-x^2} + \dfrac{1}{2}}
= \dfrac{ 1-0^2 }{\sqrt{\dfrac{1}{4}+0-0^2} + \dfrac{1}{2}}
= \dfrac{ 1}{ \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}}
=1
\end{array}
\]
i el resultat de utilitzar la funció inversa
\[
\displaystyle\int_0^1 f(x)dx + \displaystyle\int_{1}^{0} f^{-1}(y)dy = 1\cdot 0 - 0\cdot 1
e\]
\[
\displaystyle\int_0^1 f(x)dx + \displaystyle\int_{1}^{0} f^{-1}(y)dy = 0
\]
\[
\displaystyle\int_0^1 \left(\sqrt{\dfrac{1}{4x^2}+\dfrac{1}{x}-x} - \dfrac{1}{2x}\right)dx
+ \displaystyle\int_{1}^{0} \left(\dfrac{-y^2}{2}+\sqrt{\dfrac{y^4}{4}-y+1}\right)dy = 0
\]
Canviant l'ordre d'integració de la segona i com que les variable de integració son mudes
\[
\displaystyle\int_0^1 \left(\sqrt{\dfrac{1}{4x^2}+\dfrac{1}{x}-x} - \dfrac{1}{2x}\right) dx
- \displaystyle\int_0^1 \dfrac{-y^2}{2} dy
- \displaystyle\int_0^1 \sqrt{\dfrac{x^4}{4}-x+1} dx = 0
\]
\[
\displaystyle\int_0^1 \left(\sqrt{\dfrac{1}{4x^2}+\dfrac{1}{x}-x} - \dfrac{1}{2x}\right) dx
- \displaystyle\int_0^1 \sqrt{\dfrac{x^4}{4}-x+1}dx = \displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{-y^2}{2} dy
\]
\[
\displaystyle\int_0^1 \left(\sqrt{\dfrac{1}{4x^2}+\dfrac{1}{x}-x} - \dfrac{1}{2x}
- \sqrt{\dfrac{x^4}{4}-x+1}\right) dx = \displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{-y^2}{2} dy = \left.\dfrac{-y^3}{6}\right|_0^1=-\dfrac{1}{6}
\]
Clarament el membre esquerra és \(I_5\) i el membre dret el resultat
\[
I_5 = \displaystyle\int_{0}^1
\left(\sqrt{\dfrac{1}{4x^2}+\dfrac{1}{x}-x} - \sqrt{\dfrac{x^4}{4}-x+1}-\dfrac{1}{2x}\right) dx = -\dfrac{1}{6}
\]
|